金色传说（dp 数学）

原题： http://fastvj.rainng.com/problem/Gym-102174J

题意：

n长度的所有只有±号的式子的结果之和

解析：

x+b和x-b对应，显然任意一个带有符号的式子找得到一个相反符号的式子，所以只需要累加所有式子的第一个数字即可。

用dp[3]表示后半部分长度为3的方案数（+00、-01、+19）,这个dp转移很简单：区分最后一个位置是符号还是数字，两种都可以加数字，但是只有最后为数字才可以加符号。

再看下面递推式：

一位数后面带两个位置的情况（第三列第一个）为 $9*10/2*dp[2]$，到了n=4时，变成了 $99*100/2*dp[2]$。对前式扩大100倍得： $90*100/2*dp[2]$，差了 $9*100/2*dp[2]$。
而两位数带两个位置的情况的改变为： $99*100/2*dp[2]\to 999*1000/2*dp[2]$，乘100后差了 $9*1000/2*dp[2]$。

用 $ans[i]$表示i长度的答案，sum代表还差的部分。
那么 $ans[i]=ans[i-1]*100+sum,sum=sum*10$。
还要加上新的部分： $ans[i]+=9*10/2*dp[i-1],sum+=9*100/2*dp[i-1]$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn=500009;
const LL mod=998244353;
LL ans[maxn];
LL dp[maxn][2];
void init(){//0 最后是符号
    dp[0][0]=dp[0][1]=1;
    dp[1][0]=2;dp[1][1]=0;
    for(int i=2;i<=5e5;i++){
        dp[i][1]=(dp[i-1][0]+dp[i-1][1])*10%mod;
        dp[i][0]=dp[i-1][1]*2%mod;
    }
    ans[1]=45,ans[2]=4950,ans[3]=500400;
    LL sum=(90000/2+900/2*dp[2][1])%mod;
    for(int i=4;i<=5e5;i++){
        ans[i]=(ans[i-1]*100+sum)%mod;
        sum=sum*10%mod;
        ans[i]=(ans[i]+45*dp[i-1][1])%mod;
        sum=(sum+450*dp[i-1][1])%mod;
    }
}

int main(){
    init();
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",ans[n]);
    }
}