亿些模板【数论数学+dp】

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前言

因为老是懒得打模板的时候老是扣不到自己的标(因为之前的都打得太丑了)，所以导致我十分的不爽。便打算开一个模板库。会不断更新的

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数论数学模板

(某些附有证明)

GCD

$我们设d=gcd(a,b)$
$\because d\mid a,d\mid b$
$\therefore d\mid a\%b$
$设gcd(b,a\%b)=d'$
$\because d'\mid b,d'\mid a\%b$
$\therefore d'\mid a$
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

int gcd(int a,int b)
{
    if (b==0)
    {return a;}
    return gcd(b,a%b);
}

exgcd

$ax+by=gcd(a,b)$
$bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)$
展开 $(a\%b)$
$bx'+(a-\lfloor a/b\rfloor b)y'=gcd(b,a\%b)$
拆开括号
$bx'+ay'-\lfloor a/b\rfloor by'=gcd(b,a\%b)$
将 $a$和 $b$取出
$ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=gcd(b,a\%b)$
$\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
$\therefore ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=ax+by$
将两边的 $a$和 $b$取出
$y'+(x'-\lfloor a/b \rfloor y')=x+y$
然后由于两边是等价的
$\therefore \left\{\begin{matrix} \\ x=y' \\ y=(x'-\lfloor a/b \rfloor y') \\ \\ \end{matrix}\right.$

#include<cstdio>
using namespace std;
int x,y,a,b,k;
void gcd(int a,int b)
{
    if (b==0)
    {x=1;y=0;return;}
    gcd(b,a%b);
    k=x;x=y;y=k-a/b*y;
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    gcd(a,b);
    printf("%d",(x+b)%b);
}

快速幂

ll power(ll x,ll b)
{
	if(!b) return 1;
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*x%XJQ;
		x=x*x%XJQ;b>>=1;
	}
	return ans;
}

线性推逆元

首先对于p，我们将其分解为 $ki+r(k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor,r=p\%r)$，然后有
$ki+r\equiv 0(mod\ \ p)$
左右两边同时乘上一个 $i^{-1}*r^{-1}$
$k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\ \ p)$
$i^{-1}\equiv -k*r^{-1}(mod\ \ p)$
$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor*(p\%i)^{-1}(mod\ \ p)$
反正本来就要 $\%p$
$i^{-1}= -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor*(p\%i)^{-1}\%p$
因为 $i$比 $(p\%i)$小，按照递推的顺序我们在求出 $i^{-1}$之前就已经求出 $(p\%i)^{-1}$了。但是我们还要保证不是负数，所以我们可以直接计算
$i^{-1}= p-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor*(p\%i)^{-1}\%p$

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,p;
long long inv[3000010];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&p);
	inv[1]=1;
	printf("%d\n",inv[1]);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	  inv[i]=(long long)p-p/i*inv[p%i]%p,printf("%d\n",inv[i]);
}

逆元求组合数

ll power(ll x,ll b)
{
	ll ans=1;
	x%=XJQ;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*x%XJQ;
		x=x*x%XJQ;b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{
	ll ans1=1,ans2=1;
	for(ll i=n-m+1;i<=n;i++)
	  ans2=ans2*i%XJQ;
	for(ll i=1;i<=m;i++)
	  ans1=ans1*power(i,XJQ-2)%XJQ;
	return ans2*ans1%XJQ;
}

矩阵乘法

struct matrix{
    ll a[size][size];
}f;
matrix operator *(matrix &a, matrix &b) {
    matrix c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    for (ll i=0;i<size;i++)
        for (ll j=0;j<size;j++)
            for (ll k=0;k<size;k++)
                (c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=YMW;
    return c;
}
void ksm(matrix &f,ll b) {
    matrix a=f;
    while(b)
    {
        if(b&1) a=a*f;
        f=f*f;
        b>>=1;
    }
    f=a;
}

线性筛素数-欧式筛

void primes()
{
	for(ll i=2;i<=N;i++)
	  if(!v[i])
	  {
	  	  prime[++cnt]=i;
	  	  s[i]=1;//素数也标记
		  for(ll j=2;i*j<=N;j++)
		  {
		      if(!v[j]&&j<=i)//是素数的乘积
			    s[i*j]=1;
		      v[i*j]=true;
		  }
	  }
}

线性筛素数-线性筛

挖坑

线性筛欧拉-欧式

for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]=i;//初始化欧拉
for (int i=2;i<=n;i++)
{
  if (phi[i]==i)//质数
    for (int j=i;j<=n;j+=i)
      phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//筛去一个质因子
  sum+=phi[i];//统计答案
}

线性求欧拉

ll phi(ll n)//求欧拉函数
{
	ll ans=n;
	for (ll i=2;i*i<=n;i++)
	  if (n%i==0)
	  {
	  	ans=ans/i*(i-1);
	  	while (n%i==0) n/=i;
	  }
	if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

龟速乘

ll ksc(ll a,ll b)
{
    a%=YMW;b%=YMW;
    ll c=(long double)a*b/YMW;
    ll ans=a*b-c*YMW;
    if(ans<0) ans+=YMW;
    else if(ans>=YMW) ans-=YMW;
    return ans;
}

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dp模板

背包

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LIS

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最长公共子序列

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