区块链-椭圆曲线加密法（ECC）

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椭圆曲线生成公钥：https://blog.csdn.net/qq_40452317/article/details/90082353

椭圆曲线加密法（Elliptic Curve Cryptography）简称ECC。一种建立公开公钥加密算法，基于椭圆曲线数学。

secp256k1曲线

比特币中使用的是secp256k1曲线。一般的椭圆曲线表示位：

                                                  y^2=x^3+a*x^2+b

其中a，b为系数。当参数a=0，b=7时，得到函数

                                                      y^2=x^3+7

这个方程产生的曲线就是secp256k1曲线。

图示如下：（可以到此测试：https://www.desmos.com/calculator/0mnue7w8lk）

           

椭圆曲线时连续的，不适合加密，所以需要把椭圆曲线变成离散的点。把椭圆曲线定义在有限域上。

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什么是有限域？

在抽象代数中，域是一种可进行加、减、乘和除运算的代数结构。是一个可以在其上进行加法、减法、乘法和除法运算而结果不会超出域的集合。如有理数集合、实数集合都是域，但整数集合不是（使用除法得到的分数或小数已超出整数集合）。如果域F只包含有限个元素，则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。

给出一个有限域Fp，其中有p个元素（p是质数）0，1，2，3····p-2，p-1。

Fp加法：a+b=c（mod p）

Fp乘法：a*b=c（mod p）

Fp除法：a/b=c（mod p）

椭圆曲线运算

加法（测试：https://www.desmos.com/calculator/0mnue7w8lk）

过曲线上的点A，B画一条直线，找到与椭圆曲线的交点，交点关于x轴的对称点定义位A+B。

          

A，B重合时

将曲线在A点的切线与椭圆曲线的交点管于x轴的对称点定义位A+A，即2A。

正负运算 

A点的关于x轴的对称点就称为-A。

无穷远点 

如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交与无穷远点。

综上，如果给定椭圆曲线一点G，可以求出2G（G+G），3G（2G+G）····。当给出G时，已知x，求出xG并不困难，但是反之，已知xG时，求x时非常困难的。

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