蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——CH0601 Genius ACM

题目大意：给定一串序列，要你把序列分成几段，使得每段的SPD值都小于T，求最小段数.其中一段序列的SPD值是指，在这段序列中取出M对数（若不足M堆则尽量多取），使得这M对数每对数(a,b)的 $(a-b)^2$ 的和的最大值.

一段序列的SPD值怎么求？我们可以贪心地让最大差最大，次大差次大...也就是说让这段序列选出的M对数为(最大值,最小值)，(次大值,次小值)...

然后我们考虑暴力去做这道题，那么我们就可以枚举.容易发现肯定是取得越多越好，所以我们就枚举一边.每次都判断当前段SPD值是否小于T，判断的时候每次排序，也可以每次都在原来排好的序列中插入数字，时间复杂度 $O(n^2logn)$ 或 $O(n^2)$ .

我们发现，SPD值计算一次最少也要O(n)，所以我们不可能从SPD值的计算当中着手优化.于是我们考虑如何优化枚举.

显然，这道题求的值具有单调性，我们或许可以二分，但是若设最后的段数位ans，那么时间复杂度就是 $O(ans*nlogn)$ .

我们发现ans一大，二分就不行了.

我们考虑换成倍增，每次呈两倍增长要加长的长度，可以得到一个长度len，那么接下来要增长的长度不超过len，我们就可以再二分增长，得到一个最长长度len，这样我们就可以得出答案了.时间复杂度 $O(nlog^2n)$ .

我们发现这个算法明显跑不满，但是出题人把这个算法卡掉了.

于是我们发现，上一次排好序的序列实际上这一次是可以直接用的，不需要重新排序.那么就每一次把增加的长度排序，然后与原来的序列合并.

关于时间复杂度，一段区间[l,r]的倍增时间复杂度为 $O(\sum_{i=1}^{log(r-l+1)}2^i*log(2^i))=O((r-l+1)log(r-l+1))$ ，那么也就是说倍增部分的时间复杂度最多是 $O(nlogn)$ .同理二分也是 $O(nlog(n))$ ，总的加起来就是 $O(nlogn)$ .

那么代码实现如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
const int N=500000;
int n,m,p[N+9],ans;
int l,r;
LL tmp[N+9],order[N+9];
LL K;
LL sqr(LL a){
  return a*a;
}
void merge(int L,int mid,int R){
  int i=L,j=mid,k=L;
  while (i<mid&&j<=R)
    if (order[i]<=order[j]) tmp[k++]=order[i++];
    else tmp[k++]=order[j++];
  while (i<mid) tmp[k++]=order[i++];
  while (j<=R) tmp[k++]=order[j++];
}
bool check(int L,int mid,int R){
  for (int i=mid;i<=R;i++)
    order[i]=p[i];
  stable_sort(order+mid,order+R+1);
  merge(L,mid,R);
  LL sum=0;
  for (int i=1;i<=R-L+1>>1&&i<=m;i++)
    sum+=sqr(tmp[R-i+1]-tmp[L+i-1]);
  if (sum<=K){
    for (int i=L;i<=R;i++)
      order[i]=tmp[i];
    return true;
  }else return false; 
}
Abigail into(){
  l=r=0;ans=0;
  scanf("%d%d%lld",&n,&m,&K);
  for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&p[i]);
}
Abigail work(){
  int len=1;
  l=r=1;
  order[l]=p[l];
  while (r<=n)
    if (!len){
      len=1;ans++;
      l=++r;
      order[l]=p[l];
    }else if (r+len<=n&&check(l,r+1,r+len)) {
      r+=len;len<<=1;
      if (r==n) break;
    }else len>>=1;
  if (r==n) ans++;
}
Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}
int main(){
  int T=1;
  scanf("%d",&T);
  while (T--){
    into();
    work();
    outo();
  }
  return 0;
}

蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——CH0601 Genius ACM

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