NIM博弈详解

问题
有n堆石子，第i堆有 $a[i]$个，每次可以取走任意一堆的任意多个，可以取完但不能不取。取走最后一个的胜利。

结论
当且仅当 $a[1] xor a[2] xor ... xor a[n]=0$，先手必败

首先考虑必败情况，即对方拿走了最后一个，此时a全部为0，显然有异或和为0，败了。

然后是，对于异或和不为0的情况，设异或和为x，最高位的1在第k位，那么一定有一个数 $a[i]$最高位1也在k位，显然 $a[i]$ $xor$ $x$ 小于 $a[i]$，我们从这一堆中挑选出来一部分拿走，就一定可以把异或和重新置为0。

而当为0的时候，例如此时轮到甲操作，此时是甲的必败状态，因为取走一部分后必败状态被打破，对方取走后又可以恢复甲的必败状态，因此甲必败。

也就是说如果一开始异或和为0，先手就已经到发了必败点，如果不为0，也先手取走一部分后，异或和为0，轮到后手，相当于后手到达了必败点，先手必胜。