蒟蒻乱写一通关于动态规划几类问题的笔记，可能会有错误之处，欢迎指正。
一. 01背包问题
关于这个问题，我之前已经写了不太全面的（比较扯淡的）笔记，就不复述了。
传送门：背包问题学习笔记
补充一下除了01背包、完全背包、多重背包外，还有一个超大背包问题值得了解。
二. 最长上升子序列问题（LIS）
题目链接：洛谷oj AT2827 LIS 推荐题解：动态规划——最长上升子序列问题
题目不赘述了，LIS就是最长上升子序列。简单来说，就是在一串给定的数列a[n]中取出一些数（未必要连续），让它们能单调上升，并且这个数列要最长。
举个例子，对于长度为10的数列“1，9，11，2，10，7，8，9，13，6”，它的LIS就是“1，2，7，8，9，13”，长度为6。
对于这个问题，有两种算法，复杂度分别为O(n2)和O(nlogn)。虽然我们发现O(n2)的算法是无法AC洛谷的LIS板子题的，但是O(n2)的算法思想仍然有助于我们理解动态规划。
O(n2)的经典算法：
根据动态规划把大问题拆成小问题，分段求解的思路，我们声明一个数组f[maxn]，f[i]表示从1到i中，以a[i]结尾的最长上升子序列的长度。初始时f[i]=1,i∈[1,n]。（初始值其实就是这个序列中只有a[i]时的序列长度，显然为1）。
可以写出状态转移方程：f[i]=max{f[j]+1}, j∈[1,i-1]且a[j]<a[i];
怎么理解这个方程呢？就是说，当我们已经处理完了f[i-1]，需要求f[i]时，只需要遍历一遍a[1…i-1]，找到所有能成为a[i]前驱的数a[j]（即a[i]>a[j]），然后在所有能成为前驱的a[j]中找到f[j]最大的那个就可以了。如果还不理解，可以尝试直接看代码。
因为代码是写出来便于理解的，我就不写寄存器内联快速读入之类花里胡哨的东西了嘻嘻嘻。
#include <cstdio> using namespace std; const int maxn=100000; int n,a[maxn+5],f[maxn+5]; int result; int main(){ scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); f[i]=1; } for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<i;j++) if (a[i]>a[j]&&f[i]<f[j]+1) f[i]=f[j]+1; for (int i=1;i<=n;i++) if (result<f[i]) result=f[i]; printf("%d",result); return 0; }
O(nlogn)的优秀算法：
如果想优化上面的算法，基于贪心的思想，我们很容易想到：当x,y∈[1,i-1]时，若f[x]=f[y]，a[x]<a[y]，显然f[i]=f[x]+1比f[i]=f[y]+1更优，更可能得到答案。
所以在f[x]一定的情况下，尽量选择更小的a[x]。按f[x]=k来分类，我们需要记录的当所有等于k的f[x]中，最小的a[x]。我们声明一个low[k]来存储这个最小的a[x]。
这样说可能会有点乱，简单说吧，就是声明一个low[k]，存储在[1,i-1]之间，已知的最长上升子序列长度为k的最小的a[x]值。（还是感觉比较复杂，将就理解一下吧）
low[k]=min{a[x]},f[x]=k；
可以归纳出low[k]的几个性质：
①low[x]单调递减增，即low[1]＜low[2]＜low[3]＜low[4]＜……＜low[n-1]＜low[n];
②随着处理时间推进，low[x]只会越来越小;
如果不能理解，可以尝试自己写个数列模拟看看。
有了这两个性质，就可以这样求解：
声明当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），当读入一个新元素x：
①若x>low[len]，则直接把x加入到d的末尾，且len+＝1；
②否则，在low[x]中二分查找，找到第一个比x小的数low[k]，并low[k+1]=x，在这里x<=g[k+1]一定成立。
易证时间复杂度为O(nlogn)。
代码中的二分查找我用stl的lower_bound函数代替了，但是不开O2会慢挺多吧……手写二分应该会快，蒟蒻我太懒了orz
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=100000; int n,len=1; int a[maxn+5],low[maxn+5]; int main(){ scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); low[1]=a[1]; for (int i=2,j=0;i<=n;i++){ if (low[len]<a[i]) j=++len; else j=lower_bound(low+1,low+len+1,a[i])-(low+1)+1; //这里用stl里的lower_bound代替手写的二分查询 low[j]=a[i]; } printf("%d",len); }
三. 最长公共子序列问题（LCS）
题目链接：洛谷oj P1439 【模板】最长公共子序列 推荐题解：《挑战程序设计竞赛（第二版）》2.3
注意，这次是最长公共子序列（LCS）。LCS就是指给定两个数列，两个数列中最长的公共子序列（哇我在说什么废话）。
举个例子好了，比如下面两个长度分别为6的子序列：
1 4 9 10 2 6
2 1 10 2 13 6
上面两个子序列，它们的LCS就是长度为4的序列： 1 10 2 6 。和LIS一样，子序列是不需要连续的。
为了解决这个问题，我们可以尝试这样思考：
首先，记给定的两个序列为s和t，依旧是根据动态规划分段求解的思想。定义f[i][j]为序列 s1…si 和序列 t1…tj 对应的LCS的长度。
那么f[i+1][j+1]有三种情况：
① si+1=ti+1时，在序列 s1…si 和序列 t1…tj 对应的LCS后面追加si+1（si+1=ti+1）；
② 继承序列 s1…si 和序列 t1…tj+1 对应的LCS；
③ 继承序列 s1…si+1 和序列 t1…tj 对应的LCS；
f[i][j]为上面三种情况中最大的一个。所以可以写出递推式：
这个递推式可以在O(n2)的时间内被计算出来，f[n][n]是LCS的长度。