角点是图像重要的特征，对图像图形的理解和分析有很重要的作用。角点在保留图像图重要特征的同时,可以有效地减少信息的数据量，使其信息的含量很高，有效地提高了计算的速度，有利于图像的可靠匹配和实时处理。下面将介绍Harris角点检测及 Matlab实验。

1 基础知识

1.1 图像变化的类型

1.2 提取点特征的作用

图像的点特征是许多计算机视觉算法的基础：使用特征点来代表图像的内容，在运动目标跟踪、物体识别、图像配准、全景图像拼接和三维重建等方向有较多的用处。

有一类重要的点特征：角点(corner points)

角点(corner points)：局部窗口沿各方向移动，均产生明显变化的点，图像局部曲率突变的点

典型的角点检测算法：Harris角点检测 ， CSS角点检测等。下图展示的是不同学者提出的角点检测算法。

下图为不同类型的角点，那么，怎么才算的好的角点检测算法呢？下面将慢慢介绍。

1.3 什么是好的角点检测算法？

（1）检测出图像中“真实的”角点；

（2）准确的定位性能；

（3）很高的重复检测率（稳定性好）；

（4）具有对噪声的鲁棒性；

（5）具有较高的计算效率。

2 Harris 角点检测

1988年，Harris提出角点检测的方法效果较好。从谷歌学术来看，引用已达到1万6千多次，佩服佩服。

2.1 Harris角点检测基本思想

基本思想：从图像局部的小窗口观察图像特征。

角点定义：窗口向任意方向的移动都导致图像灰度的明显变化。

2.2 Harris角点检测：数学描述

将图像窗口平移 $[u,v]$ 产生灰度变化 $E(u,v)$

$E(u,v) = \sum\limits_{x,y} {w(x,y){{\left[ {I(x + u,y + v) - I(x,y)} \right]}^2}}$

由： $I(x + u,y + v) = I(x,y) + {I_x}u + {I_y}v + O({u^2},{v^2})$

得到：

$E(u,v) = \sum\limits_{x,y} {w(x,y){{\left[ {{I_x}u + {I_y}v + O({u^2},{v^2})} \right]}^2}}$

${\left[ {{I_x}u + {I_y}v} \right]^2} = [u,v]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {I_x^2}&{{I_x}{I_y}}\\ {{I_x}{I_y}}&{I_y^2} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right]$

于是对于局部微小的移动量 $[u,v]$ ，可以近似得到下面的表达：

$E(u,v) \cong \left[ {u,} \right.\left. v \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}M\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right]$

其中， $M$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，可由图像的导数求得：

$M = \sum\limits_{x,y} {w(x,y)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {I_x^2}&{{I_x}{I_y}}\\ {{I_x}{I_y}}&{I_y^2} \end{array}} \right]}$

窗口移动导致的图像变化：实对称矩阵 $M$ 的特征值分析

$E(u,v) \cong \left[ {u,} \right.\left. v \right]\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}M\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right]$

其中， $M$ 的特征值 ${\lambda _{\max }},{\rm{ }}{\lambda _{\min }}$ 。

定义角点响应函数： $R$

$R = \det M - k{\left[ {{\mathop{\rm trace}\nolimits} (M)} \right]^2}$

其中， $\det M = {\lambda _1}{\lambda _2}{\text{ , trace (}}M) = {\lambda _1} + {\lambda _2}$ 。

Harris角点检测结果如下图所示：

3 总结

上面是Harris角点检测的数学推导，通过查阅相关文献，对Harris角点检测的推导过程进行整理，其简要步骤如下：

Harris角点检测器分为三步：梯度计算，矩阵形成 和 特征值计算。首先，计算 $x$ 和 $y$ 方向上的平滑 (使用高斯函数) 梯度来检测给定灰度图像 $I(x,y)$ 中的角点，由下面的式子给出：

${g_x}(x,y) = \frac{{ - x}}{{2\pi \tau _g^4}}\exp \left( { - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2\tau _g^2}}} \right)$

${g_y}(x,y) = \frac{{ - y}}{{2\pi \tau _g^4}}\exp \left( { - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2\tau _g^2}}} \right)$

其中， ${\tau _g}$ 是平滑参数。

计算图像 $I(x,y)$ 的平滑梯度为：

${I_x} = {g_x}(x,y) \otimes I(x,y)$

${I_y} = {g_y}(x,y) \otimes I(x,y)$

其中，“ $\otimes$ ” 表示二维卷积运算。

Harris角点检测器依赖于计算一个矩阵（与自相关函数有关），由下面的式子给出：

$A(x,y) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{xx}}}&{{a_{xy}}}\\ {{a_{xy}}}&{{a_{yy}}} \end{array}} \right)$

其中，

${a_{xx}} = {\sum\limits_{{x_i} \in W} {\sum\limits_{{{\text{y}}_i} \in W} {[{I_x}({x_i},{y_i})]} } ^2}$

${a_{yy}} = {\sum\limits_{{x_i} \in W} {\sum\limits_{{{\text{y}}_i} \in W} {[{I_y}({x_i},{y_i})]} } ^2}$

${a_{xy}} = \sum\limits_{{x_i} \in W} {\sum\limits_{{{\text{y}}_i} \in W} {{I_x}({x_i},{y_i})} } {I_y}({x_i},{y_i})$

从上面的式子可以看出， ${a_{xx}},{a_{yy}}$ 和 ${a_{xy}}$ 表示平均梯度幅值，矩阵 $A$ 的特征值提供关于给定位置的边缘的信息。如果给定位置的矩阵的特征值都很大，那么大部分区域均为角点。Harris通过计算响应函数可以避免精确的特征值计算，由下面的式子给出：

$R = \det A - k{\left[ {{\mathop{\rm trace}\nolimits} (A)} \right]^2}$

其中， $\det A = {\lambda _1}{\lambda _2}{\text{ , trace (}}A) = {\lambda _1} + {\lambda _2}$ , $k$ 是可调参数，一般设置在区间 [0.04, 0.06] 内。通过判定 $R$ 大小来判断像素点是否为角点，对于角点， $\left| R \right|$ 的值很大；而平坦的区域， $\left| R \right|$ 的值很小。

4 Matlab 实验

Harris角点检测 Matlab 代码如下：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Harris角点检测算法 Matlab code
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all; clc ;tic;

ori_im = imread('lena.tiff');     % 读取图像

if(size(ori_im,3)==3)
    ori_im = rgb2gray(uint8(ori_im));  %转为灰度图像
end

% fx = [5 0 -5;8 0 -8;5 0 -5];          % 高斯函数一阶微分，x方向(用于改进的Harris角点提取算法)
fx = [-2 -1 0 1 2];                 % x方向梯度算子(用于Harris角点提取算法)
Ix = filter2(fx,ori_im);              % x方向滤波
% fy = [5 8 5;0 0 0;-5 -8 -5];          % 高斯函数一阶微分，y方向(用于改进的Harris角点提取算法)
fy = [-2;-1;0;1;2];                 % y方向梯度算子(用于Harris角点提取算法)
Iy = filter2(fy,ori_im);              % y方向滤波
Ix2 = Ix.^2;
Iy2 = Iy.^2;
Ixy = Ix.*Iy;
clear Ix;
clear Iy;

h= fspecial('gaussian',[7 7],2);      % 产生7*7的高斯窗函数，sigma=2

Ix2 = filter2(h,Ix2);
Iy2 = filter2(h,Iy2);
Ixy = filter2(h,Ixy);

height = size(ori_im,1);
width = size(ori_im,2);
result = zeros(height,width);         % 纪录角点位置，角点处值为1

R = zeros(height,width);
for i = 1:height
    for j = 1:width
        M = [Ix2(i,j) Ixy(i,j);Ixy(i,j) Iy2(i,j)];             % auto correlation matrix
        R(i,j) = det(M)-0.06*(trace(M))^2;   
    end
end
cnt = 0;
for i = 2:height-1
    for j = 2:width-1
        % 进行非极大抑制，窗口大小3*3
        if  R(i,j) > R(i-1,j-1) && R(i,j) > R(i-1,j) && R(i,j) > R(i-1,j+1) && R(i,j) > R(i,j-1) && R(i,j) > R(i,j+1) && R(i,j) > R(i+1,j-1) && R(i,j) > R(i+1,j) && R(i,j) > R(i+1,j+1)
            result(i,j) = 1;
            cnt = cnt+1;
        end
    end
end
Rsort=zeros(cnt,1);
[posr, posc] = find(result == 1);
for i=1:cnt
    Rsort(i)=R(posr(i),posc(i));
end
[Rsort,ix]=sort(Rsort,1);
Rsort=flipud(Rsort);
ix=flipud(ix);
ps=100;
posr2=zeros(ps,1);
posc2=zeros(ps,1);
for i=1:ps
    posr2(i)=posr(ix(i));
    posc2(i)=posc(ix(i));
end
   
imshow(ori_im);
hold on;
plot(posc2,posr2,'g+');

toc;

运行结果如下图所示：