HDU-4549 M斐波那契数列(矩阵快速幂)(费马小定理)

题干：

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

思路：

根据公式可得：F[3]=ab,F[4]=a $b^2$,F[5]= $a^2$ $b^3$ ,F[6]= $a^3$ $b^5$
F[n]= $a^{fib[n-1]}$ $b^{fib[n]}$ (fib为斐波那契数列)
然后我们需要快速求出fib[n]和fib[n-1]，如下图

然后就是用矩阵快速幂求
$\left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{matrix} \right]$ 的n-1次幂
矩阵快速幂：就是普通的快速幂在乘的时候变成矩阵乘法。
因为在求矩阵的n-1次幂的时候数可能很大，根据题意要对1e9+7取余；
根据费马小定理：当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。
因为1e9+7是质数，所以模1e9+6
一些注意的点在代码中

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
struct matrix
{
	ll tt[2][2];
};
struct matrix mul(struct matrix x,struct matrix y)  //矩阵乘法 
{
	struct matrix t1;
	for(int i=0;i<2;i++){
		for(int j=0;j<2;j++){
			t1.tt[i][j]=0;
			for(int k=0;k<2;k++){
				t1.tt[i][j]=t1.tt[i][j]+x.tt[i][k]*y.tt[k][j]%(mod-1);
				t1.tt[i][j]%=(mod-1);  //费马小定理：a^(p-1)%p与1同余(p为素数且a与p互质) 
			}
		}
	}
	return t1;
}
struct matrix fb(struct matrix a,ll n)   //矩阵快速幂 
{
	struct matrix t;   
	for(int i=0;i<2;i++)    //这里一定要初始化，否则t会出问题 
		for(int j=0;j<2;j++)
			t.tt[i][j]=0;
	for(int i=0;i<2;i++)   //单位矩阵 
		t.tt[i][i]=1;
	while(n)
	{
		if(n%2)
		{
			t=mul(t,a);
		}
		a=mul(a,a);
		n>>=1;
	}
	return t;
}
long long qc(ll a,ll b)
{
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b%2)
			ans=(ans*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll a,b,n;
	while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n)!=EOF)
	{
		if(n==0)
			printf("%lld\n",a%mod);
		else if(n==1)
			printf("%lld\n",b%mod);
		else
		{
			struct matrix F,f;
			f.tt[0][0]=f.tt[0][1]=f.tt[1][0]=1;
			f.tt[1][1]=0;
			for(int i=0;i<2;i++){
				for(int j=0;j<2;j++){
					F.tt[i][j]=0;
				}
			}
			F=fb(f,n-1);   //矩阵乘法求fib[n]和fib[n-1] 
			long long ans=0;
			//printf("%d %d\n",F.tt[1][0],F.tt[0][0]);
			ans=qc(a,F.tt[1][0])*qc(b,F.tt[0][0]);   //快速幂 
			ans%=mod;
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
    return 0;
}