基尔霍夫矩阵&矩阵树定理学习笔记

背景：

好多东西没学。
勇士被快船惊天大逆转！！！
快船 $NB$。
紧接着下午打球水杯被搞烂了 $...$

正题：

$Part1$行列式：

对于一个 $n*n$的矩阵 $A$。
设 $p$枚举列的全排列， $τ(p)$表示排列 $p$的逆序对的个数。
则其行列式为 $det_A=\sum_p(-1)^{τ(p)}\prod_{i=1}^na_{i,p_i}$
那么这个东西有什么性质呢？

$[1]$：
交换行和列，则行列式结果的符号取反。
这很显然，因为逆序对的奇偶性刚刚好相反。

$[2]$：
两行或两列一样时，行列式结果为 $0$。
这很显然，因为 $p$全部枚举过了，且一定枚举到相同的序列，而 $i$又会枚举相等，所以成立。

$[3]$：
某一行或某一列乘上了 $k$，最后的结果也会乘 $k$。
这很显然，你考虑每一行或每一列的贡献，一个 $\prod$有且仅会被枚举 $1$次乘 $k$的数，每一次乘 $k$，因此你将这个 $k$提取出 $\sum$外面即可，那就是刚刚好乘 $k$。

$[4]$：
某一行是另一行的 $k$倍或某一列是另一列的 $k$倍，最后的结果为 $0$。
其实就是 $[2],[3]$的结合体。你先提取出一个 $k$，那么就会存在某两行或某两列相等，那么结果就为 $0$了。

$[5]$：
某一行加上另一行的 $k$倍或某一行列加上另一列的 $k$倍，最后结果的不变。当某一行加上另一行的k倍时，行列式不变。
证明：可以从求和式子的每一项的那一行的那个元素下手，
把 $det$求和式拆成两个 $det$求和式（就是把被加上 $k$倍的哪一行/列拆为原来的和新加的）：
$det_1$与原矩阵的行列式求法相同；
$det_2$所代表的矩阵中有两行成比例，比例系数为 $k$，值为 $0$ （性质 $[4]$）。
所以相比原来的行列式，值不变。

至此，行列式就结束了。

$Part2$基尔霍夫矩阵&矩阵树定理：

不知道是不是基尔霍夫电流顶定律的那个人发明的？
这里的基尔霍夫矩阵可以用来求无向图生成树的个数。
对于一个无向图 $G$，它的生成树个数等于其基尔霍夫矩阵任何一个 $N-1$阶主子式的行列式的绝对值。
所谓的 $N-1$阶主子式就是对于一个任意的一个 $r$，将矩阵的第 $r$行和第 $r$列同时删去得到的新矩阵。
基尔霍夫矩阵的一种求法（矩阵树定理）： $基尔霍夫矩阵K=度数矩阵D-邻接矩阵A$。

解释一下：
度数矩阵 $(i,i)$表示 $i$这点的度，其余点均为0。
邻接矩阵 $(i,j)$表示 $(i,j)$连的边数；特别的，若 $i=j$，则为 $0$。

$Part3$快速求行列式：

首先对于这样一个矩阵：

注意到是一个上三角矩阵（左下的值为 $0$，而左上有值）。
其行列式的值为对角线的乘积（同理下三角矩阵）。
因为只有 $p$的排列为 $1234$ 时， $\prod{}$后才没有 $0$出现，才对结果有贡献。

又因为性质 $[5]$，所以采用高斯消元的方法，把矩阵消为一个上三角矩阵后，然后求出对角线的积，便是该矩阵的行列式的值。
复杂度 $\Theta(n^3)$。

$Part4$应用：

我们可以用上述方法求解基尔霍夫矩阵，就能解决一些问题：
$[1]$：
求无向图生成树的个数。

$[2]$：
内向树：树上的边是由儿子指向父亲；
外向树：树上的边是由父亲指向儿子。
若求内向生成树的个数，则 $D_{i,i}$表示入度即可；
若求外向生成树的个数，则 $D_{i,i}$表示出度即可。