格林函数、泊松公式及基尔霍夫-亥姆霍兹积分公式

序
同样是相互关联的三样东西，故整理置一起，老师说这个东西很重要，但数物里面并没有讲，全靠自学。。。

格林函数

概述： 类比于力学中的质点和电学中的点电荷，点声源激发的声场叫做格林函数。

• 点声源
  点源强度 $Q=4\pi r_0^2V_0$，是常数，它代表声源体积变化速度的幅度。点声源的声场是：
  $P(r)=-j\omega \rho_0 Q \frac{e^{jkr}}{4\pi r}$

• 瞬态点声源 $(\vec{r},t)$对应的格林函数
  瞬时点声源在 $t'$时刻，在 $\vec{r'}$位置激发的声场，格林函数 $g(\vec{r},t;\vec{r'},t')$满足方程，解为：
  $\nabla^2 g-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 g}{ \partial t^2} =-\delta(\vec{r}-\vec{r'})\delta(t-t')$
  $g(\vec{r},t;\vec{r'},t')=g(\vec{r}-\vec{r'},t-t')=\frac{\delta(t-t'-\frac{R}{c})}{4\pi R}$
  其中， $R=|\vec{r}-\vec{r'}|$

• 稳态点声源 $(\vec{r},\omega)$对应的格林函数
  强度 $Q=-\frac{1}{j\omega \rho_0}$位于 $\vec{r'}$的稳态点声源激发的声场，格林函数 $G(\vec{r},\vec{r'};\omega)$满足方程，其解为：
  $\nabla^2G+k^2G=-\delta(\vec{r}-\vec{r'})$
  $G(\vec{r},\vec{r'};\omega)=\frac{e^{jkR}}{4\pi R}$

泊松公式

概述：利用格林函数求解有源波动方程的解，对源在空间和时间上用 $\delta$函数进行分解，然后对格林函数进行空间和时间积分，本质为线性系统满足叠加定理。（可用信号与系统的思想进行理解，格林函数类似于冲激响应，只不过格林函数的维度更多）

• 对声源的分解
  用 $\delta$函数对声源在空间和时间上分解：
  $f(\vec{r},t)=\int \iiint f(\vec{r'},t')\delta(\vec{r}-\vec{r'})\delta(t-t') {\rm d}\vec{r'} {\rm d}t'$

• 瞬态解的泊松公式
  $\nabla^2 p(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p(\vec{r},t)}{ \partial t^2} =f(\vec{r},t)$
  $p(\vec{r},t)=\int \iiint f(\vec{r'},t')g(\vec{r},t;\vec{r'},t'){\rm d}\vec{r'} {\rm d}t'=\int \iiint f(\vec{r'},t')\frac{\delta(t-t'-\frac{R}{c})}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'} {\rm d}t'$
  上述解为零状态响应，对于初始状态，同样可以用 $\delta$函数去模拟，当然也可直接求通解。

• 稳态解的泊松公式
  $\nabla^2P+k^2P=-F(\vec{r})$
  $P(\vec{r})=\iiint F(\vec{r'})G(\vec{r},\vec{r'};\omega){\rm d} \vec{r'}=\iiint F(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d} \vec{r'}$

基尔霍夫-亥姆霍兹积分公式

针对含有边界的空间的情况，求解声场
$P(\vec{r})=\iiint_{V1} F_1(\vec{r'})G(\vec{r},\vec{r'};\omega){\rm d}\vec{r'}+\oiint_S (\frac{\partial P(\vec{r'})}{\partial n_{r'}}G(\vec{r},\vec{r'};\omega)-P(\vec{r'})\frac{\partial G(\vec{r},\vec{r'};\omega)}{\partial n_{r'}}) {\rm d}\vec{r'}$

• 利用无限空间格林函数
  去无限空间中的格林函数 $G(\vec{r},\vec{r'};\omega)=\frac{e^{jkR}}{4\pi R}$，则声场可以描述为：
  $P(\vec{r})=\iiint_{V1} F_1(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'}+\oiint_S (\frac{\partial P(\vec{r'})}{\partial n_{r'}}\frac{e^{jkR}}{4\pi R}-P(\vec{r'})\frac{\partial \frac{e^{jkR}}{4\pi R}}{\partial n_{r'}}) {\rm d}\vec{r'}$
  面积分是 $S$面上的声压分布和法向速度对 $\vec{r}$点声压的贡献，表面法向速度的贡献相当于点源，表面声压贡献相当于偶极子源。
  意义：
  如果知道空间的分布声源和表面上的声压和法向速度，由基尔霍夫-亥姆霍兹积分公式可以得到空间中任一点的声压。但是，在辐射问题中只知道表面的法向速度或声压，不能同时知道两者。
  事实上，作为二阶偏微分方程问题，边界上只能给定一个条件，如果给定了声压，空间的声场就已经确定，界面上的法向速度也确定了。
  因此基尔霍夫-亥姆霍兹积分公式不能用来确定声场，它不是边界问题的解，而是声场必须满足的积分方程。

• 有限空间的格林函数
  找到一个格林函数 $G_1(\vec{r},\vec{r'};\omega)$在 $S$上满足边界条件 $\left. G_1(\vec{r},\vec{r'};\omega) \right| _{\vec{r} \in S}=0$，则：
  $P(\vec{r})=\iiint_{V1} F_1(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'}-\oiint _SP(\vec{r'})\frac{\partial \frac{e^{jkR}}{4\pi R}}{\partial n_{r'}} {\rm d}\vec{r'}$
  上式为已知边界上的声压的声场，但需要求得满足对应边界条件的格林函数。

• 假想界面的意义
  若上述中的 $S$不是实际的边界，而是无界空间中的一个假想的界面，其内外分别是 $V_1$和 $V_2$，两部分中的分布声源分别是 $F_1$和 $F_2$，则可以得到空间中的声场是：
  $P(\vec{r})=\iiint_{V1} F_1(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'}+\iiint_{V2} F_2(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'}$
  对于封闭曲面 $S$内部的一些声源对 $S$外部的作用可以用分布在 $S$上的点源和偶极子源代替
  $\oiint=\left\{ \begin{aligned} & \iiint_{V2} F_2(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'} &\vec{r} \in V_1\\ & \iiint_{V1} F_1(\vec{r'})\frac{e^{jkR}}{4\pi R}{\rm d}\vec{r'} &\vec{r} \in V_2 \\ \end{aligned} \right.$