题解 JZOJ 1162.【普及组模拟赛】最大杂置(set)

题目描述：

令 $S$为 $n$个元素的集合，则S有 $2^{n-1}$个子集（除去空集）。现在要你从这 $2^{n-1}$个子集中选出最多的子集，使这些子集能构成一个杂置。
杂置是指任意两个集合没有包含或被包含的关系。例如对于有3个元素的集合 $\{a,b,c\}$。
$\{a,b\}，\{a,c\}，\{b,c\}$可以构成一个杂置，而 $\{a\},\{b\},\{a,b\}$则不能构成一个杂置。

输入:

第一行一个 $t$表示包括t组数据，接下来 $t$行每行一个 $n$。

输出:

对于每组数据输出最大杂置包含的集合数。结果模12345678。

推导过程：

首先我们明确，选取构成杂置的子集合元素个数相等，则可以保证不被互相包含。
假设我们选取的子集合元素个数为 $k$,那么就有 $C_n^k$种选法。
则：
$ans=\max_{1\le i\le n}C_n^k$
考虑到数列 $C_n^k$具有单峰性，即最大值唯一。
直接求解不支持模数，所以转化成帕斯卡三角形求解：
$C_n^k={n\choose k}$
帕斯卡三角形具有以下性质：
${n \choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}$
运用加法原理可证，即分为在前 $n-1$个数当中选 $k-1$或 $k$个数。
又有：
${n\choose k}={n\choose n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
根据不等式基本性质，可知 ${n\choose k}$的单峰值在 $k=\frac{n}{2}$时。
代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1001;
int n, l, F[N][N][3], A[N];

int main()
{
	freopen("ontherun.in", "r", stdin);
	freopen("ontherun.out", "w", stdout);
	scanf("%d %d", &n, &l);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &A[i]);
	sort(A + 1, A + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		F[i][i][1] = abs(A[i] - l) * n;
		F[i][i][2] = abs(A[i] - l) * n;
	}
	for(int i = n; i >= 1; i--) {
		for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
			F[i][j][1] = min(F[i + 1][j][1] + (n + i - j) * (A[i + 1] - A[i]), F[i + 1][j][2] + (n + i - j) * (A[j] - A[i]));
			F[i][j][2] = min(F[i][j - 1][2] + (n + i - j) * (A[j] - A[j - 1]), F[i][j - 1][1] + (n + i - j) * (A[j] - A[i]));
		}
	}
	printf("%d\n", min(F[1][n][1], F[1][n][2]));
	return 0;
}

文献资料部分参考于《组合数学》第五章。