题解 JZOJ 1354.土地购买

题目描述

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 5,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000).

每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25.

FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

输入

第1行: 一个数: N

第2…N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

输出

第一行: 最小的可行费用.

思路讲解

合并的规律比较随机，这会使 $dp$根本无从下手。

转而想到贪心，我们引入了一种抽象化的合并方式。

• 对于 $i,j$这两个矩形，如果将其合并，可以将合并后的状态记录在 $i$中，并将 $j$的状态清空。

• 那么我们合并的两个矩形就相当于合并了两个集合。

• 于是合并任意两个矩形都可以当做合并两个矩形来处理了。

我们设 $x_i$表示长， $y_i$表示宽。

那么判断 $i,j$有没有合并的必要：

• 合并前的代价 $=x_i\cdot y_i+x_j\cdot y_j$

• 合并后的代价 $=\max(x_i,x_j)\cdot \max(y_i,y_j)$

取最小值即可，最后再讲合并后的状态转移到 $i$即可。

最后的答案为：
$\text{ans}=\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i$

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;
const int MAXN = 5001;
int N;
long long x[MAXN], y[MAXN], ans;

int main()
{
	freopen("acquire.in", "r", stdin);
	freopen("acquire.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &N);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%d %d", &x[i], &y[i]);
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		for(int j = 1; j <= N; j++) {
			if(i == j) continue;
			if(x[i] * y[i] + x[j] * y[j] > max(x[i], x[j]) * max(y[i], y[j])) {
				x[i] = max(x[i], x[j]);
				y[i] = max(y[i], y[j]);
				x[j] = y[j] = 0;
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		ans += x[i] * y[i];
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}