小波变换已经诞生四十多年了,其应用遍及数理化天地生各个领域,不胜红火。按理，经过多年洗礼，小波变换定义应该早就固化安定下来了。然而，最近这些年，小波变换在定义上又起波澜，主要是由于自己给出了小波变换的新定义。而且，最近我又发现了一组新的小波变换反演公式，从新公式的视角来审视原始小波变换定义，便觉得其有些不堪了。至于为何不堪，后文再述。
冲动之下，我把wiki百科中的连续小波变换（Continuous wavelet transform）词条从定义到逆变换都改换一新，觉得这样很满意。然而，不久，有人又倔强地将小波变换的定义改回到原始的形式。只是新的反演公式未有人敢改动，还是好好地摆在那里。
这件事引起我的一些思索。看来人们对原始小波变换定义还是情有独钟的，原因在于：
i）人们对于原始性的喜爱是无法用语言来形容的；
ii）原始小波变换可以与传统的能量概念联系于一道；
iii）原始小波变换是流行已久的多分辨率分析（MRA）的基础。
考虑到上述三点因素，我觉得自己应该在小波变换定义上做出妥协，这当然不是说自己不再坚持新的小波变换定义。恰恰相反，自己对于新定义依然自信，这种自信建立在如下事实之上：
i）原始小波变换定义在确定信号频率上有偏差，因此其在时频分析应用时是有缺陷的，而新定义则完全克服了这一缺陷。
ii）若采用原始小波变换定义，则很难写出新的反演公式，这正是原始小波变换定义不堪的地方。若采用新的小波变换定义，则可以很朴素地写出新的反演公式。而新的反演公式清晰地指示出新的小波定义，新的小波不必满足传统小波的容许性条件，这大大简化了小波的构造，并扩展了小波的外延，这对于小波领域而言，是一场革新甚至革命。
现在，我认为小波变换应有两种定义，这两种定义分别面向不同的应用。
第一种定义也就是原始小波变换定义，它是面向多分辨率分析应用的，即，对于信号f(t)，其第一种小波变换定义为
Wf(a,b)=1a√∫+∞−∞f(t)ψ¯(t−ba)dt,a>0,bϵRWf(a,b)=1a∫−∞+∞f(t)ψ¯(t−ba)dt,a>0,bϵR (1)
其中 ψ(t)ψ(t) 是基本小波，上划线表示共轭。
第二种定义也就是新的小波变换定义，它是面向时频分析应用的，即，对于信号 f(t)f(t) ，其第二种小波变换定义为
Wf(a,b)=1|a|∫+∞−∞f(t)ψ¯(t−ba)dt,a,bϵRWf(a,b)=1|a|∫−∞+∞f(t)ψ¯(t−ba)dt,a,bϵR (2)
两种小波变换定义（1）和（2）有明显的差异：首先，（1）中尺度a是正实数而（2）中的a是实数；其次，（1）中用1/a1/2而（2）中用1/|a|。这两点差异使得两种小波变换定义面向不同的应用。
这两种小波变换定义的出现是经过争鸣尘埃落定后的一种妥协。然而，在我内心深处，仍然认为第二种小波变换定义（2）要更为完美，例如其有着很美和简洁的两类反演公式：
f(t)=1cψ∫+∞−∞∫+∞−∞1a2Wf(a,b)ψ(t−ba)dadb,tϵR"style="font−family:宋体;text−align:center;f(t)=1cψ∫−∞+∞∫−∞+∞1a2Wf(a,b)ψ(t−ba)dadb,tϵR"style="font−family:宋体;text−align:center; (3)
其中, ψ(t)ψ(t) 是容许小波， cψcψ 是容许常数；
f(t)=|β|2πψ¯(β)∫+∞−∞∫+∞−∞1a2Wf(a,b)exp(iβt−ba)dadb,tϵRf(t)=|β|2πψ¯(β)∫−∞+∞∫−∞+∞1a2Wf(a,b)exp(iβt−ba)dadb,tϵR (4)
其中 ββ 为非零常数，帽子"^"表示Fourier变换， ψ(t)ψ(t) 是分析小波（不必是容许小波）。而第一种小波变换定义（1）的反演公式不仅难以写出而且即便写出也不简洁。只是考虑到历史的原因，才有了上述的妥协，也许只是暂时的妥协。
我相信，随着时光的流逝，第二种小波变换定义（2）会被越来越多的人所认可。
值得一提的是：（4）是最近才被发现的小波变换反演公式，它是那么美！
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