小波变换（一）

一、何为小波变换？

小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题。

小波变换的实质是：原信号与小波基函数的相似性。小波系数就是小波基函数与原信号相似的系数。

二、傅里叶变换和短时傅里叶变换的缺点

1、傅里叶变换缺点：
（1） Fourier分析不能刻画时间域上信号的局部特性
（2） Fourier分析对突变和非平稳信号的效果不好，没有时频分析
2、短时傅里叶变换缺点：
对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

三、小波变换

对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题，如果我们让窗口的大小可以改变，不就完美了吗？答案是肯定的，小波就是基于这个思路，但是不同的是。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间。
这个基函数会伸缩、会平移（其实是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

小波公式:

$$WT\left( a,\tau \right)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right)*\psi \left( \frac{t-\tau }{a} \right)}dt$$
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。如下图

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。
而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！

小波的知识还有很多，可以再继续看书学习，希望看到这个文章，可以对小波入门的同学有一定的帮助，下面这篇博客介绍小波变换也写得相当不错：
https://blog.csdn.net/qq_20823641/article/details/51829981