matlab时频分析之连续小波变换cwt
1 小波分析简介
和傅里叶变换比，小波变换和短时傅里叶变换都有着相同的优点，就是可以同时在时域和频域观察信号。所以小波变换非定常信号的分析中有很大的作用。
有关短时傅里叶变换的文章，可以参见我之前写的：
matlab时频分析之短时傅里叶变换 spectrogram
https://blog.csdn.net/weixin_42943114/article/details/88735799
和短时傅里叶变换相比，小波变换有着窗口自适应的特点，即高频信号分辨率高（但是频率分辨率差），低频信号频率分辨率高（但是时间分辨率差），而在工程中常常比较关心低频的频率，关心高频出现的时间，所以近些年用途比较广泛。
在数学上，小波还有正交化等优点，应用领域广泛。
但是，本文只讨论如何利用matlab实现cwt的时频分析
2 小波分析基本原理
小波的含义，即为时间上衰减快，和傅里叶的正弦波相比要短。
一个典型的morlet小波如下图：
matlab有很多自带的小波函数，利用wavemngr(‘read’,1)可以进行小波的查看，利用waveinfo可以查看小波的相关信息。
在时间域上，可以通过小波在时间上的移动，逐一比较不同位置的窗口信号，得到小波系数，小波系数越大，则证明小波与该段信号的拟合程度越好。计算中用小波函数与该窗口信号的卷积，作为该窗口下的小波系数。窗口的长度和小波的长度是相同的。
在频率域上，通过拉伸或压缩小波的长度，来改变小波的长短和频率，实现不同频率下的小波系数。相应的，窗口长度也会随着小波长度变化。由于高频处小波被压缩，时间窗变窄，使得时间分辨率更高。
将不同频率下的小波系数组合起来，便得到了时频变换的小波系数图。
从图上可以看到，低频处频率分辨率要好于高频处的。小波时频图的特点为整体呈现高频处高而瘦，低频处矮而宽。
小波中，一般用尺度scale来衡量小波的频率f，两者之间的转换关系为：
公式中，Fs代表信号的采样频率，wcf为小波的中心频率（wave central freq），在matlab里可以用 centfrq(wavename) 来查询。
3 cwt的matlab实现
matlab自带的有两种实现方式，一种是2006年版本推出的函数cwt，一种是2016年版本推出的函数cwt。两个函数名称相同，用法不同。
（我也不知道为什么会这样。。。-_-||）
由于名称一样，在使用中，要想调用不同的版本，只能用输入输出格式来区分。
旧版本cwt用法为：
coefs = cwt(x,scales,'wname')
新版本cwt用法为：
[wt,f] = cwt(x,wname,fs)
最明显的区别在于，新版本取消了自定义尺度函数scales的功能。同时新版本还更新替换了一部分小波函数。旧版本支持 ‘haar’，‘db’，‘sym’，‘cmor’，‘mexh’，‘gaus’，‘bior’等小波，新版本支持’morse’， 'amor’和 'bump’小波。
新版本的小波函数用法如下：
% 定义信号信息
fs=2^6; %采样频率
dt=1/fs; %时间精度
timestart=-8;
timeend=8;
t=(0:(timeend-timestart)/dt-1)*dt+timestart;
L=length(t);
z=4*sin(2*pi*linspace(6,12,L).*t);
%matlab自带的小波变换
%新版本
figure(1)
[wt,f,coi] = cwt(z,'amor',fs);
pcolor(t,f,abs(wt));shading interp
旧版本的小波函数用法如下：
这里用到了cmor小波，以及频率转尺度的方法。
% 定义信号信息
fs=2^6; %采样频率
dt=1/fs; %时间精度
timestart=-8;
timeend=8;
t=(0:(timeend-timestart)/dt-1)*dt+timestart;
L=length(t);
z=4*sin(2*pi*linspace(6,12,L).*t);
%旧版本
wavename='cmor1-3'; %可变参数，分别为cmor的
%举一个频率转尺度的例子
fmin=2;
fmax=20;
df=0.1;
f=fmin:df:fmax-df;%预期的频率
wcf=centfrq(wavename); %小波的中心频率
scal=fs*wcf./f;%利用频率转换尺度
coefs = cwt(z,scal,wavename);
figure(2)
pcolor(t,f,abs(coefs));shading interp
对于cmor小波Fc和Fb的选取，可以认为最终结果只与Fc*√Fb的乘积大小有关就行。实际应用中具体值需要根据最终效果选择。
cmor小波最终得到的coefs小波系数，是一个复数矩阵，绝对值abs()代表信号的幅值，角度angle()代表信号的相位。一般用小波系数的实部real()来同时表示信号正负变化。
其实cwt的原理很简单，就是用不同尺度的小波逐个窗口去卷积，得到小波系数矩阵。所以根据原理，可以自己编程实现小波变换。
自己编程的cwt函数如下，这里主要算法参考了matlab官方的文档。这里我依然用的是cmor小波作为例子，morlet函数公式可以查询到，也可以用cmorwavf()函数调用：
fs=2^6; %采样频率
dt=1/fs; %时间精度
timestart=-8;
timeend=8;
t=(0:(timeend-timestart)/dt-1)*dt+timestart;
L=length(t);
z=4*sin(2*pi*linspace(6,12,L).*t);
%定义计算范围和精度
fmin=2;
fmax=20;
df=0.1;
totalscal=(fmax-fmin)/df;
f=fmin:df:fmax-df;%预期的频率
wcf=centfrq(wavename); %小波的中心频率
scal=fs*wcf./f;
%自己实现的小波函数
coefs2=cwt_cmor(z,1,3,f,fs);
figure(3)
pcolor(t,f,abs(coefs2));shading interp
%后面是函数
function coefs=cwt_cmor(z,Fb,Fc,f,fs)
%1 小波的归一信号准备
z=z(:)';%强行变成y向量，避免前面出错
L=length(z);
%2 计算尺度
scal=fs*Fc./f;
%3计算小波
shuaijian=0.001;%取小波衰减长度为1%
tlow2low=sqrt(Fb*log(1/shuaijian));%单边cmor衰减至1%时的时间长度，惨叫cmor的表达式
%3小波的积分函数
iter=10;%小波函数的区间划分精度
xWAV=linspace(-tlow2low,tlow2low,2^iter);
stepWAV = xWAV(2)-xWAV(1);
val_WAV=cumsum(cmorwavf(-tlow2low,tlow2low,2^iter,Fb,Fc))*stepWAV;
%卷积前准备
xWAV = xWAV-xWAV(1);
xMaxWAV = xWAV(end);
coefs = zeros(length(scal),L);%预初设coefs
%4小波与信号的卷积
for k = 1:length(scal) %一个scal一行
a_SIG = scal(k); %a是这一行的尺度函数
j = 1+floor((0:a_SIG*xMaxWAV)/(a_SIG*stepWAV));
%j的最大值为是确定的，尺度越大，划分的越密。相当于把一个小波拉伸的越长。
if length(j)==1 , j = [1 1]; end
waveinscal = fliplr(val_WAV(j));%把积分值扩展到j区间，然后左右颠倒。f为当下尺度的积分小波函数
%5 最重要的一步 wkeep1取diff(wconv1(ySIG,f))里长度为lenSIG的中间一段
%conv(ySIG,f)卷积。
coefs(k,:) = -sqrt(a_SIG)*wkeep1(diff(conv2(z,waveinscal, 'full')),L);
%
end
end
输出的结果如下，可以看到和matlab自带的函数得到的结果基本相同。
4 cwt的边缘效应与影响锥
利用自带的cwt函数，可以很方便的绘制出影响锥。
cwt(z)
由于小波计算中，小波系数是利用窗口函数和小波卷积而来的，当窗口在信号的边缘时，窗口内会存在一部分没有信号。这时，matlab就把窗口内这部分不完整的信号补零处理，凑够长度。
此时由于信号在边缘被强制补零，导致信号会失真，具体在时频图中表示为频率变宽，信号强度降低。严重的时候，甚至整个低频部分都会出现失真。这就是cwt的边缘效应。
为了确定边缘效应的影响，绘制出了一条影响曲线，曲线内部的信号影响小或者不受影响，曲线外部影响较大。曲线像一个锥形，高频处靠近两侧，低频处靠近中间，所以也被叫做影响锥。
所以根据边缘效应的原理，可以知道，之所以高频处影响范围小，是因为高频处小波被压缩，所以窗口更窄。低频处小波被拉伸，所以对应着窗口更宽。窗口的长度和小波的长度是相同的。
关于影响范围的评价，有很多种，这里为了方便说明，我直接用小波的半长度作为影响范围，来绘制影响锥。具体的思路如下，我认为超过小波长度一半的范围都是失真的，然后通过频率求出每一点的小波长度，再在图上连线绘制出来。
代码如下，依然以cmor小波为例，为了反应相位的影响，这里用的是real()：
%小波变换展示
clear
fs=2^6; %采样频率
dt=1/fs; %时间精度
timestart=-8;
timeend=8;
t=(0:(timeend-timestart)/dt-1)*dt+timestart;
L=length(t);
z=sin(2*pi*5.*t)+sin(2*pi*9.*t)+sin(2*pi*15.*t);
%定义范围
wavename='cmor1-3'; %可变参数
fmin=2;
fmax=20;
df=0.1;
totalscal=(fmax-fmin)/df;
f=fmin:df:fmax-df;%预期的频率
wcf=centfrq(wavename); %小波的中心频率
scal=fs*wcf./f;
%旧版本
coefs = cwt(z,scal,wavename);
figure(2)
pcolor(t,f,real(coefs));shading interp
tlow2low=sqrt(1*log(1/0.001));%单边cmor衰减至1%时的时间长度
tcoi41=tlow2low*scal;%小波一半长度
bur=(tcoi41<L/2);
fcoi4=f(bur);
tcoi41=tcoi41(bur);
tcoi42=-tcoi41+L;
hold on
plot(tcoi41/fs+timestart,fcoi4,'r','LineWidth',2)
plot(tcoi42/fs+timestart,fcoi4,'r','LineWidth',2)
hold off
5 cwt的重构——icwt
如果用的是matlab新版的默认小波，那么可以直接把cwt之后小波系数icwt即可。
load mtlb;
wt = cwt(mtlb);
xrec = icwt(wt);
对于morlet小波，可以直接 sum(real(coefs),1) 来实现重构。但是，这里尺度最好用默认尺度，否则会出现重复叠加导致幅值出现问题。
具体用法可以参见帮助文档。
6 增加cwt的分辨率的wsst
利用wsst可以显著的提高cwt的频率分辨率。具体用法如下：
clear
fs=2^6; %采样频率
dt=1/fs; %时间精度
timestart=-8;
timeend=8;
t=(0:(timeend-timestart)/dt-1)*dt+timestart;
L=length(t);
z=4*sin(2*pi*linspace(6,12,L).*t);
[sst,f] = wsst(z,fs);
figure(4)
pcolor(t,f,abs(sst));shading interp
与普通cwt的对比图如下：
左图是cwt的时频图，右图是wsst的时频图。
wsst同样可以利用iwsst进行重构，具体方法可以参见iwsst的帮助文档。
如果想要提高wsst的精度，可以在matlab里选中wsst，然后Ctrl+D进入wsst的代码界面，把里面的na参数，强行改的大一点。
具体方法为在下面代码后，加上一个na=512（这里不一定是512，具体根据na实际值进行适当放大，在我这里的例子中，na=288。如果怕出错，建议备份）。
na = noct*params.nv;
na=512
这样做的优点是，在不影响iwsst的运行结果的基础上，显著的提高分解的精度。
