评价一个算法优劣的要素便是算法的性能（包括时间复杂度和空间复杂度）。当我们去比较两个算法时，最传统的方法就是实践，可以采用控制变量法，让两个算法在同一台机器上以相同的数据跑，比较所花费的时间。这样做不但有些麻烦，而且可能发生奇怪的事，比如：对于第一组数据，算法A优于算法B，而对于第二组数据，算法B优于算法A。这就无法比较两个算法的优劣了。
为了解决上面可能出现的问题，渐进分析应运而生。我们通过使用数据的size来评价一个算法的性能。对于一个有n个数的array，线性查找的时间可用n表示，而折半查找可用Logn表示。
当然，渐进分析也并不能比较任何两个算法的优劣，比如：nLogn与100nLogn的两个算法，根据渐进分析，它们的性能并无优劣之分。
当我们分析一个算法时，可以有三种情况
1.Best case
2.Average case
3.Worst case
比如线性查找：
int search(int arr[], int n, int x)
{
int i;
for (i=0; i<n; i++)
{
if (arr[i] == x)
return i;
}
return -1;
}
1.Best case:
X=arr[0],即要找的值位于数组的首位，此时时间复杂度为O(1),这种情况存在偶然性且不具代表性，因此通常不使用。
2.Average case:
我们假定所有的n+1（x为arr中n个值中的一个或者不在arr中）种情况出现的概率相同，那么
T（n）= [1+2+……+n+(n+1)]/(n+1) = O(n).
这种情况代表了一个算法的平均水平，极具代表性，但是，它很难被算出来，所以，有些算法无法用它表示。
3.Worst case:
X不在arr中，时间复杂度O(n),相对来说，这种情况的可能性更大，最重要的一点是，它代表了一个算法最差的情况，最高的时间按复杂度。当我们知道一个算法的最差情况，那么一个算法必将小于等于最差情况，因此这种情况通常被使用。
渐进分析算法有以下三种标记：
1.ϴ：同时确定上下限时使用
2.O：只能确定上限时使用
3.Ω：只能确定下限时使用
循环语句的分析:
1.O(1)
// c为常量 for (int i = 1; i <= c; i++) { // O(1)的语句 }
2.O(n)
// c为常量 for (int i = 1; i <= n; i += c) { // O(1)的语句 } for (int i = n; i > 0; i -= c) { // O(1)的语句
}
3.O(n2)
// c为常量
for (int i = 1; i <=n; i += c) { for (int j = 1; j <=n; j += c) { // O(1)的语句 } } for (int i = n; i > 0; i += c) { for (int j = i+1; j <=n; j += c) { // O(1)的语句
}
4.O(Logn)
for (int i = 1; i <=n; i *= c) { // O(1)的语句 } for (int i = n; i > 0; i /= c) { // O(1)的语句 }
5.O(LogLogn)
// pow为平方函数
for (int i = 2; i <=n; i = pow(i, c)) { // O(1)的语句 } // fun 为开平方函数 for (int i = n; i > 0; i = fun(i)) { // O(1)的语句 }
递归函数的分析:
1.替换法
步骤：
1) 猜测给定算法的时间复杂度
2) 证明猜测的时间复杂度正确
例：T(n)=2T(n/2)+n
1) 猜测T(n)=O(nLogn)
2) 证明：T(n)<=cnLogn成立
T(n) = 2T(n/2)+n
<=2c*(n/2)*Log(n/2)+n
=cnLogn-cnLog2+n
<=cnLogn (当cLog2>1时)
2.递归树法
步骤：
1) 根据递归关系画出递归树
2) 合计总的时间代价
For example consider the recurrence relation T(n) = T(n/4) + T(n/2) + cn2 cn2 / \ T(n/4) T(n/2) If we further break down the expression T(n/4) and T(n/2), we get following recursion tree. cn2 / \ c(n2)/16 c(n2)/4 / \ / \ T(n/16) T(n/8) T(n/8) T(n/4) Breaking down further gives us following cn2 / \ c(n2)/16 c(n2)/4 / \ / \c(n2)/256 c(n2)/64 c(n2)/64 c(n2)/16 / \ / \ / \ / \ To know the value of T(n), we need to calculate sum of tree nodes level by level. If we sum the above tree level by level, we get the following seriesT(n) = c(n^2 + 5(n^2)/16 + 25(n^2)/256) + ....The above series is geometrical progression with ratio 5/16. To get an upper bound, we can sum the infinite series. We get the sum as (n2)/(1 - 5/16) which is O(n2)
3.主定理法
<!--EndFragment-->