LeetCode-Divisor Game

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Description：
Alice and Bob take turns playing a game, with Alice starting first.

Initially, there is a number N on the chalkboard. On each player’s turn, that player makes a move consisting of:

• Choosing any x with 0 < x < N and N % x == 0.
• Replacing the number N on the chalkboard with N - x.

Also, if a player cannot make a move, they lose the game.

Return True if and only if Alice wins the game, assuming both players play optimally.

Example 1:

Input: 2
Output: true
Explanation: Alice chooses 1, and Bob has no more moves.

Example 2:

Input: 3
Output: false
Explanation: Alice chooses 1, Bob chooses 1, and Alice has no more moves.

Note:

• 1 <= N <= 1000

题意：Alice和Bob做一个游戏，游戏规则为对于给定一个数 $N$，执行以下操作

• 找到一个数 $x$满足 $0&lt;x&lt;N$，并且 $N\%x==0$
• 下一个人得到的数字为 $N-x$
  如果找不到数 $x$，则判断游戏失败；

解法：题目已经假定了Alice和Bob每一步的选择都是最优的，我们考虑利用动态规划来实现，定义一个数组temp[N + 1]用于记录从1到N，Alice获胜的情况；下面给出了N从1到10的情况；

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Win(T/F)	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T

1. N = 1时很容易理解，不存在这样的x，Alice判定为输；
2. N = 2时，仅存在唯一的x=1满足条件，Alice经过这一个操作后，N = N - x = 1，由1知道轮到Bob时，找不到满足条件的x，Alice判断为赢；
3. N = 3时，同2仅存在唯一的x=1满足条件，轮到Bob时N = N - x = 2，由2知道Alice判定为输
4. N = 10时，满足条件的x={1,2,5}，存在x=1使得Alice判定为赢

从上面的计算过程可以总结，每一个N的计算都依赖于前面[1,N-1]的结果；

Java

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        boolean[] temp = new boolean[N + 1];
        temp[1] = false;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (i % j == 0 && !temp[i - j]) {
                    temp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        
        return temp[N];
    }
}

//当我计算了很多种情况后，发现N只要是偶数时，Alice就一定会赢
//至于证明，希望有人可以给出
//class Solution {
	public boolean divisorGame(int N) {
		return N % 2 == 0 ? true : false;
	}
}