C++ 二元一次不定方程巧妙求解——运用扩展欧几里得算法

前言

在关于数论的学习中，求解二元一次不定方程是很重要的，在学习求解二元一次不定方程之前，要先了解欧几里得算法和扩展欧几里得算法。

关于数论的学习

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欧几里得算法

欧几里得算法就是辗转相除法，欧几里得算法中 ( a , b ) 的最大公约数与 ( b , a mod b ) 的最大公约数相同。

证明：设  y = k*x+b ，则 b = y % x 
           设 d 是 ( x ,y ) 的公约数
           则 d 能整除 x 和 y ,因为 b = y - k*x 
           所以 d 也能整除 r 
           所以 ( x , y ) 的最大公约数与 ( y , x%y ) 的最大公因数相同

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扩展欧几里得算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在两个整数 x，y ，使得 gcd（a，b）=a*x+b*y。

1. 当 b = 0时， x = 1 , y = 0

2.a>b>0时

证明：a*x+b*y = gcd( a，b)

有欧几里得算法可知

b*x1+( a % b )*y1 = gcd( b , a%b )

则ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

所以ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

（a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数）

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

所以x1=y2

y1=x2- [a / b] *y2

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关于求解 a*x+b*y=c的二元一次不定式

根据上面的扩展欧几里得算法可知，若要让 a*x+b*y=c成立，则 c 必须是 gcd( a , b ) 的倍数，否则会没有整数解，那么由于a*x1+b*y1=gcd( a , b )，所以 x 一定是 x1 的（c / gcd( a , b )）倍，y 一定是 y1 的（c / gcd( a , b )）倍。（刚读可能很难理解，多读几遍就会明白）所以 x = x1*（c / gcd( a , b )）, y = y1*（c / gcd( a , b )）

这只是一组特解，我们可以通过它，求出通解

而其他通解一定满足

x0 = x + b / gcd( a , b ) * t

y0 = y - a  / gcd( a , b ) * t

其中 t 为任意数

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代码

结合代码理解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int a , b , c , T ;
 
int ex( int a , int b , int &x , int &y )
{
    if(  b == 0 )
    {
        x = 1 ;
        y = 0 ;
        return a; 
    }
    else
    {
        int u = ex( b , a % b , y , x );
        y -= x *( a/b );
        return u ;
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%d", &T );
    for(int h = 1 ; h <= T ; ++ h )
    {
        scanf("%d%d%d", &a , &b ,&c );
        int x = 0 ,y  = 0 ;
        int p = ex( a, b , x , y );//求最小公约数和满足 a*x+b*y=gcd(a,b) 的 x 和 y
        x = x * ( c / p );
        y = y * ( c / p );
        cout<<x << " "<< y <<endl; //这里只输出特解
        /*通解
            for(int i = -10000 ; i <= 100000 ; ++ i ) {
                y0 = y - a/p*i;
                x0 = x + b/p*i;
            }
        */
    }
}