二元一次不定方程的整数解

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先来看看一个典型的二元一次不定方程:
$ax+by-c=0\\ a,b,c\in\mathbb{z}\\x,y\in\mathbb{z}$
为了方便不妨限定 $c\geqslant0$.
下面给出一个是否有解的定理:
${theorem:}\\ gcd(a,b)|c\iff不定方程ax+by=c有无数个整数解.$
下面用之前提到的裴蜀等式(或者裴蜀定理,叫什么都好)证明
${proof:}\\ \because \exists s,t\in\mathbb{z},\\ sa+tb=gcd(a,b),\\ \therefore when\ gcd(a,b)|c,\\ The\ solution\ is\ [s*(c/gcd(a,b)),t*(c/gcd(a,b))]\\ \ Q.E.D$
既然有解,那解是什么就成了下一个问题.
下面是结论:
$对于特解\ x_0,y_0\\ 其他的解为\\ \left\{ \begin{aligned} x=x_0\pm \frac{t*b}{gcd(a,b)}\qquad \\ y=y_0\mp \frac{t*a}{gcd(a,b)}\qquad \\ \end{aligned} \right.$
下面是不太数学化的证明XD
已经通过各种黑科技得到特解 $x_0$, $y_0$,那么就形成了一种"平衡状态",要得到其他的整数解必须要基于这个状态进行"无害化"修改.那么就只能像这样:
$ax_0+by_0=c\rightarrow\ ax_0\pm m+by_0\mp m=c\\ \rightarrow a(x_0\pm m/a)+b(y_0\mp m/b)=c$
当且仅当 $a|m \land b|m$,有新的整数解.此时m为a,b的公倍数.
根据定理, $[a,b]|m$, $m=[a,b]*t$
又因为 $[a,b]=\frac{a*b}{gcd(a,b)}\qquad$
带入得证.

这只是不定方程中最简单的一种情况,至于更复杂的多元高次不定方程,那就是另一回事了.