『球形空间产生器高斯消元』

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<第一次更新>

<正文>

球形空间产生器(BZOJ 1013)

Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input Format

第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output Format

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

解析

易知球心坐标到球上所有点的距离相等，即求一个$n$维空间中的点$(x_1,x_2,...,x_n)$，使得
\[ \forall\ i\in[1,n+1]\ ,\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}-x_j)^2=d \]

成立，$d$为一个定值。

通过将$i=p$和$i=p+1$时的两个式子做差，可以得到：
\[ \sum_{j=1}^{n}(a_{pj}-x_j)^2-\sum_{j=1}^{n}(a_{(p+1)j}-x_j)^2=0 \\ \sum_{j=1}^{n}(a_{pj}^2-2a_{pj}x_j+x_j^2)-\sum_{j=1}^{n}(a_{(p+1)j}^2-2a_{(p+1)j}x_j+x_j^2)=0 \\ \sum_{j=1}^n(a_{pj}^2-a_{(p+1)j}^2-2x_j(a_{pj}-a_{(p+1)j}))=0 \\ \sum_{j=1}^n2(a_{pj}-a_{(p+1)j})x_j=\sum_{j=1}^n(a_{pj}^2-a_{(p+1)j}^2) \]
这是一个$n$元一次方程，对于$\forall\ p\in[1,n]$，都可以得到这样的方程，那么我们就得到了$n$个$n$元一次方程。对于该问题，使用高斯消元算法求解，其增广矩阵为：
$$
\left[
\begin{array}{cccc|c}
2(a_{11}-a_{21}) & 2(a_{12}-a_{22}) & \cdots & 2(a_{1n}-a_{2n}) & \sum_{j=1}^{n}(a_{1j}^2-a_{2j}^2) \
2(a_{21}-a_{31}) & 2(a_{22}-a_{32}) & \cdots & 2(a_{2n}-a_{3n}) & \sum_{j=1}^{n}(a_{2j}^2-a_{3j}^2) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
2(a_{n1}-a_{(n+1)1}) & 2(a_{n2}-a_{(n+1)2}) & \cdots & 2(a_{nn}-a_{(n+1)n}) & \sum_{j=1}^{n}(a_{nj}^2-a_{(n+1)j}^2) \
\end{array}
\right]

直接高斯消元即可。

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=120;
const double eps=1e-8;
int n;
double a[N][N],b[N],pos[N][N];
inline void input(void)
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lf",&pos[i][j]);
}
inline void init(void)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            a[i][j] = 2 * ( pos[i][j] - pos[i+1][j] ),
            b[i] += pos[i][j] * pos[i][j] - pos[i+1][j] * pos[i+1][j];
}
inline bool Gauss(void)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int row=i;
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            if ( fabs(a[j][i]) > fabs(a[row][i]) )
                row=j;
        if ( fabs(a[row][i]) < eps )
            return false;
        if ( row ^ i )swap(a[i],a[row]) , swap(b[i],b[row]);
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            if (i==j)continue;
            double rate = a[j][i] / a[i][i];
            for (int k=i;k<=n;k++)
                a[j][k] -= a[i][k] * rate;
            b[j] -= b[i] * rate;
        }
    }
    return true;
}
int main(void)
{
    input();
    init();
    Gauss();
    for (int i=1;i<n;i++)
        printf("%.3lf ",b[i]/a[i][i]);
    printf("%.3lf\n",b[n]/a[n][n]);
    return 0;
}

<后记>