一、绪论——1.2 误差的来源和分类

误差的来源和分类

误差是描述数值计算之中近似值的近似程度
误差按来源可分为：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差
1.模型误差：数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差。（这个误差一般来说是不可避免的）

2.观测误差：数学模型中的一些参数时通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。

注： 以上两种误差并不是数值分析的重点研究内容，因为不可避免。下面说的两种误差是数值分析需要关注和研究的。

3.截断误差: 例如进行taylor展开， $ln2 \approx 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，只取了前5项。这里舍去后面所产生的误差R₅被称为截断误差。

4.舍入误差：由于计算机只能对有限位数进行运算，在运算中像 $e,\sqrt{2},\frac{1}{3}$等都要按舍入原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差或计算误差。

绝对误差和相对误差

绝对误差

• 设 x 是精确值 x^*的一个近似值，记：
  $e=x^*-x$
  称 e 为近似值 x 的绝对误差，简称误差。
• 如果 $\varepsilon$满足：
  $\vert e \vert \leq \varepsilon$
  则称 $\varepsilon$为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。
  注1：（1）绝对误差是一个可正可负的量，且是有量纲的。（2）绝对误差是无法精确算出来的。
  注2：精确值 $x^*$，近似值 $x$，和误差限 $\varepsilon$之间满足:
  $x-\varepsilon \leq x^* \leq x+\varepsilon$
  通常记为： $x^*=x\pm \varepsilon$

相对误差

相对误差：
$e_r = \frac{e}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}$
由于 $x^*$未知，实际使用时常将 x 的相对误差取为：
$e_r = \frac{e}{x}=\frac{x^*-x}{x}$
$\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\vert x\vert}$称为近似值x的相对误差限。
$\vert e_r \vert \leq \varepsilon_r$（相对误差小于等于相对误差限）
注：相对误差可正可负，但没有量纲。

例子：
设1.24是由精确值 $x^*$经过四舍五入得到的近似值，求x的绝对误差限和相对误差限。
解：
由题意得： $1.235\leq x^* \leq 1.245$
所以：绝对误差限 $\varepsilon=0.005$,相对误差限 $\varepsilon_r=0.005/1.24\approx 0.004$

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参考资料:https://www.icourse163.org/course/NEU-1002089009