自编码器是一种很好的降维技术，它可以学习到数据中非常有用的信息。而收缩自编码器作为正则自编码器的一种，其非线性降维效果非常好，并且它的过程可以通过流形知识来解释。
基础知识
1、自编码器
自编码器是一种降维的技术，由编码器和解码器两部分组成，架构图如下。编码器 \(f\) 用来输出降维后的表示 \(h\)，而解码器 \(g\) 则通过最小化代价函数从编码器的输出 \(h\) 来重构原始的输入 \(x\)，输出 \(r\)。
编码器 \(f\) 和解码器 \(g\) 的内部结构是一个仿射函数（线性组合）再加一个（线性或非线性）激活函数，形式如下：
\[ h=f\left( x\right) =s _{f}\left( Wx+b _{h}\right), \]
\[ r=g\left( h\right) =s _{g}\left( W'h+b _{r}\right). \]
其中，\(s\) 是激活函数，\(W\) 是权重矩阵，\(b\) 是偏置向量。为了防止自编码器学习到整体收缩再放大的无用映射，一般 \(W'=W ^{T}\)。
详细的自编码器介绍可以参考Introduction to autoencoders.
2、流形切平面
流形的一个重要特征是切平面的集合。\(d\) 维流形上的一点 \(x\)，切平面由能张成流形上允许变动的局部方向的 \(d\) 维基向量给出。这是《Deep Learning》上的定义，其实切平面就是切线、切面拓展到高维的情况，类似于超平面的概念。
3、Keras
Keras 是一个用 Python 编写的高级神经网络 API，它能够以 TensorFlow、CNTK 或者 Theano 作为后端运行。Keras 的开发重点是支持快速的实验。能够以最小的时延把你的想法转换为实验结果，是做好研究的关键。
使用 Keras 前一定要安装 TensorFlow、CNTK 和 Theano 三个框架中的任一一个，并且要注意每个框架适用的 Python 版本，提前配置好相应的环境。
收缩自编码器（CAE）
1、定义
为了提高对训练集数据点周围小扰动的鲁棒性，收缩自编码器在基础自编码器上添加了正则项，其形式为编码器的映射 \(f\) 关于输入 \(x\) 的 \(Jacobian\) 矩阵的 \(Frobenius\) 范数（具体形式如下），目的是迫使其学习在训练样本上有更强收缩作用的映射。
\[ \left\| J _{f}\left( x\right) \right\| ^{2} _{F}=\sum _{ij}\left( \dfrac {\partial h _{j}\left( x\right) }{\partial x _{i}}\right) ^{2}. \]
假设训练集为 \(D _{n}\)，我们通过最小化重构误差以及对梯度的惩罚来学习自编码器的参数，完整的代价函数如下：
\[ J _{CAE}\left( \theta \right) =\sum _{x\in D _{n}}\left( L(x,g(f(x)))+\lambda \left\| J _{f}\left( x\right) \right\| ^{2} _{F}\right). \]
其中 \(L\) 是重构误差，形式为平方误差（线性自编码器）或者交叉熵损失（非线性误差），而\(\lambda \) 则是控制正则化强度的超参数。
2、解释
从代价函数来看，收缩自编码器通过两种相反的推动力学习有用信息--重构误差和收缩惩罚（正则项）。收缩惩罚迫使自编码器学习到的所有映射对于输入的梯度都很小，即把输入都降维到一个很小的区域（点附近），而重构误差迫使自编码器学习一个恒等映射，保留完整的信息。两种推动力冲击下，使得大部分映射对于输入的梯度都很小，而只有少部分的大梯度。这样在输入具有小扰动时，小梯度会减小这些扰动，达到增加自编码器对输入附近小扰动的鲁棒性。
3、学习流形
学习流形的介绍可以看我以前的博客“学习流形”的初认识。
从流行角度来进一步探索，训练数据是位于一个低维流形上的。数据中的变化对应于流形上的局部变化（沿着切平面的方向），而数据中的不变方向是对应于正交于流形的方向。只要我们学习到数据中的变化和不变方向，那么流形的结构也就被捕捉到了。
回头再看收缩自编码器学习的两种推动力，收缩惩罚想要使学习到的特征在所有方向上不变（对所有方向都有收缩作用），而重构误差则想要能将学习到的特征重构回输入。所以在学习的过程中，重构误差的推动力使数据中的变化方向（即流形切平面的方向）能够抵抗收缩作用，体现在其对应的 \(Jacobian\) 矩阵中的奇异值很大；而抵抗不了收缩作用的方向则对应于数据中不变的方向（正交于流形的方向），其在 \(Jacobian\) 矩阵中的梯度则会变得很小。
由此可以看出收缩自编码器可以很好地捕捉流形结构。
代码实现
下面收缩自编码器的实现是基于 Keras 框架的。
导入数据：
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
from keras.layers import Input, Dense
from keras.models import Model
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import keras.backend as K导入 MNISR 数据：
mnist = input_data.read_data_sets('../data/MNIST_data', one_hot=True)
X_train, y_train = mnist.train.images, mnist.train.labels
X_val, y_val = mnist.validation.images, mnist.validation.labels
X_test, y_test = mnist.test.images, mnist.test.labels定义收缩自编码器：
def contractive_autoencoder(X, lam=1e-3):
X = X.reshape(X.shape[0], -1)
M, N = X.shape
N_hidden = 64
N_batch = 100
inputs = Input(shape=(N,))
encoded = Dense(N_hidden, activation='sigmoid', name='encoded')(inputs)
outputs = Dense(N, activation='linear')(encoded)
model = Model(input=inputs, output=outputs)
def contractive_loss(y_pred, y_true):
mse = K.mean(K.square(y_true - y_pred), axis=1)
W = K.variable(value=model.get_layer('encoded').get_weights()[0]) # N x N_hidden
W = K.transpose(W) # N_hidden x N
h = model.get_layer('encoded').output
dh = h * (1 - h) # N_batch x N_hidden
# N_batch x N_hidden * N_hidden x 1 = N_batch x 1
contractive = lam * K.sum(dh**2 * K.sum(W**2, axis=1), axis=1)
return mse + contractive
model.compile(optimizer='adam', loss=contractive_loss)
model.fit(X, X, batch_size=N_batch, nb_epoch=3)
return model, Model(input=inputs, output=encoded)训练模型并测试，画出重构后的图形：
model, representation = contractive_autoencoder(X_train)
idxs = np.random.randint(0, X_test.shape[0], size=5)
X_recons = model.predict(X_test[idxs])
for X_recon in X_recons:
plt.imshow(X_recon.reshape(28, 28), cmap='Greys_r')
plt.show()代码主要参考了Deriving Contractive Autoencoder and Implementing it in Keras，其中还详细推导了收缩正则项的计算形式，有兴趣的可以看一下。