来一波矩阵操作——从高斯消元到矩阵树定理

一. 高斯消元求线性方程组

基本思路：

先从上往下消成一个上三角矩阵
再从下往上代入求值

判断解的情况：

1.出现类似0=1形式：无解
2.出现0=0形式：多组解
3.其他情况：一组解

代码：

typedef double db[N][N];
int n;

bool Gauss(db A){
    for(int i=1;i<n;i++){
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(A[j][i]-A[r][i])>eps) r=j; //为保证精度，选取最大的A[r][i]作除数
        for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(A[i][j],A[r][j]);
        if(fabs(A[i][i])<=eps) continue; //可能多解也可能无解
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            double x=A[j][i]/A[i][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++) 
                A[j][k]-=A[i][k]*x;
        }
    }
    for(int i=n;i>0;i--){
        for(int j=n;j>i;j--) A[i][n+1]-=A[i][j]*A[j][n+1];
        if(fabs(A[i][i])<=eps) return false; //可能多解也可能无解
        A[i][n+1]/=A[i][i];
    }
    return true;
}

二.矩阵求逆

定义：

对于 \(n \times n\) 的矩阵 \(A\) ，若存在矩阵 \(B\) 满足 \(A \times B = E\) （\(E\) 为单位矩阵），则称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵

性质：

令矩阵 \(P=[A|E]\) ，对 \(P\) 进行一些线性变换使之变成 \([E|B]\) 的形式，则 \(A \times B = E\)

证明：

首先有一个可证的性质，对矩阵 \(M\) 进行线性变换等价于 \(M\) 左乘一个矩阵 \(N\) （证明略）
然后就比较显然了，\(A \times B = E,E \times B = B\)

做法：

先从上往下将 \(P\) 的 \(A\) 部分消成上三角矩阵
再从下往上将 \(P\) 的 \(A\) 部分消成单位矩阵

代码：

（对大质数取模版）

#define xzy 1000000007

typedef long long ll;
typedef int Mat[N][N];

int Pow_mod(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=((ll)ret*x)%xzy;
        x=((ll)x*x)%xzy;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
bool Gauss_inv(Mat A,int n,int m){ // m=2n
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(A[j][i]>A[r][i]) r=j;
        for(int j=i;j<=m;j++) swap(A[i][j],A[r][j]);
        if(!A[i][i]) return false;
        int y=Pow_mod(A[i][i],xzy-2);
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            int x=(ll)A[j][i]*y%xzy;
            for(int k=i;k<=m;k++)
                A[j][k]=(A[j][k]-(ll)A[i][k]*x%xzy+xzy)%xzy;
        } 
    }
    for(int i=n;i>0;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            for(int k=n+1;k<=m;k++)
                A[i][k]=(A[i][k]-(ll)A[i][j]*A[j][k]%xzy+xzy)%xzy;
            A[i][j]=0;
        }
        int x=Pow_mod(A[i][i],xzy-2);
        for(int j=n+1;j<=m;j++) A[i][j]=((ll)A[i][j]*x)%xzy;
        A[i][i]=1;
    }
    return true;
}

三.矩阵行列式

定义：

略（会用就行了）

重要性质：

交换行列式的两行，行列式取相反数
将行列式某一行元素乘以同一个数后加到另一行对应的元素上去，行列式不变
上三角矩阵或下三角矩阵行列式为正对角线上元素乘积

代码：

（对合数取模——利用扩展欧几里得）

#define xzy 1000000000

typedef int Mat[N][N];
typedef long long ll;

int Gauss(Mat A,int n){
    int ret=1;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int i=j+1;i<=n;i++)
            while(A[i][j]){  //扩欧 gcd(a,b)= (b==0? a : gcd(b,a%b))
                int t=A[j][j]/A[i][j]; //A[i][j]相当于b，A[j][j]相当于a
                for(int k=j;k<=n;k++){
                    A[j][k]=(A[j][k]-(ll)A[i][k]*t%xzy+xzy)%xzy;
                    swap(A[i][k],A[j][k]);
                }
                ret*=-1;
            }
        ret=((ll)ret*A[j][j]%xzy+xzy)%xzy;
    }
    return ret;
}

四.无向图矩阵树定理

一些定义：

度数矩阵 \(D\)：
\[ D[i][j]= \begin{cases} 度数,&i==j \\ 0,&i!=j \end{cases} \]
邻接矩阵 \(A\)：
\[ A[i][j]= \begin{cases} 1,&edge(i,j)=true \\ 0,&else \end{cases} \]
基尔霍夫（\(kirchhoff\)）矩阵 \(K\)： \(K=D-A\)
余子式：一个矩阵 \(C\) 的余子式 \(M[i,j]\) 表示 \(C\) 去掉第 \(i\) 行与第 \(j\) 列后得到的矩阵的行列式

定理内容：

无向图的生成树数量，等于基尔霍夫矩阵任意余子式 \(M[i,i]\) （！！！注意是 \("i,i"\)）的行列式
如果图不连通，则其任意余子式 \(M[i,i]\) 的行列式均为0

代码：

（模板题：\(bzoj4031\) \([HEOI2015]\) 小 \(Z\) 的房间）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define xzy 1000000000

using namespace std;

const int N = 85;
typedef int Mat[N][N];
typedef long long ll;

int Gauss(Mat A,int n){
    int ret=1;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int i=j+1;i<=n;i++)
            while(A[i][j]){
                int t=A[j][j]/A[i][j];
                for(int k=j;k<=n;k++){
                    A[j][k]=(A[j][k]-(ll)A[i][k]*t%xzy+xzy)%xzy;
                    swap(A[i][k],A[j][k]);
                }
                ret*=-1;
            }
        ret=((ll)ret*A[j][j]%xzy+xzy)%xzy;
    }
    return ret;
}

Mat a;

char ch[10][10];
int dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};
int tot,id[10][10];

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ch[i]+1);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(ch[i][j]=='.') id[i][j]=++tot;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(ch[i][j]=='*') continue;
            for(int k=0;k<4;k++)
                if(id[i+dir[k][0]][j+dir[k][1]]){
                    a[id[i][j]][id[i][j]]++;
                    a[id[i][j]][id[i+dir[k][0]][j+dir[k][1]]]=-1;
                }
        }
    
    printf("%d\n",Gauss(a,tot-1));
    
    return 0;
}

五.有向图矩阵树定理

一些定义：

入度矩阵 \(D\)：
\[ D[i][j]= \begin{cases} 入度,&i==j \\ 0,&i!=j \end{cases} \]
出度矩阵 \(D\)：
\[ D[i][j]= \begin{cases} 出度,&i==j \\ 0,&i!=j \end{cases} \]
邻接矩阵 \(A\)：同上
内向生成树：生成树上的边为儿子指向父亲
外向生成树：生成树上的边为父亲指向儿子
扩展基尔霍夫矩阵\(K\)： \(K=D-A\)

定理内容：

以 \(root\) 为根的生成树个数为 \(K\) 的余子式 \(M[root,root]\) 的行列式
其中：
若为内向生成树，则 \(D\) 为出度矩阵
若为外向生成树，则 \(D\) 为入度矩阵

代码：

（模板题：\(bzoj5297\) \([Cqoi2018]\) 社交网络）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

#define xzy 10007

using namespace std;

const int N = 255;
typedef long long ll;
typedef int Mat[N][N];

int Gauss(Mat A,int n){
    int ret=1;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int i=j+1;i<=n;i++)
            while(A[i][j]){
                int t=A[j][j]/A[i][j];
                for(int k=j;k<=n;k++){
                    A[j][k]=(A[j][k]-(ll)A[i][k]*t%xzy+xzy)%xzy;
                    swap(A[i][k],A[j][k]);
                }
                ret*=-1;
            }
        ret=((ll)ret*A[j][j]%xzy+xzy)%xzy;
    }
    return ret;
}

Mat a;

int main()
{
    int n,m,x,y;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);//y->x
        x--; y--;
        a[x][x]++; a[y][x]--;
    }
    
    printf("%d\n",Gauss(a,n-1));
    
    return 0;
}