深度学习(一)-线性回归

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/keyue123/article/details/89173561

  随着人工智能的发展，深度学习变得越来越炙手可热，所以博主也来凑一下热闹，抽空开始进行深度学习，下面是我自己 的一些学习经验分享，如果有错，请各位看官勿喷，帮忙指出一下，不胜感激。
  现在最热的深度学习框架为 $TensorFlow$、 $Pytorch$ 等等，下面我主要写的对象就为 $Pytorch$，内容参考的是廖星宇老师的《深度学习之pytorch》，我觉得这本书内容很基础，也很详细，非常适合初学者入门。 $Pytorch$ 基础部分网上有很多教程，我这里就不板门弄斧，后面我会再补上，这里就开始我们这章的主题：线性回归。

一维线性回归

1）原理

  线性回归大家应该都不陌生，简单说，就是给定一个数据集 $D=\{(x_i,y_i)\}$，线性回归希望可以找到一个最好的函数 $f(x)$，使得 $f(x)=wx+b$ 能尽量多的拟合这些数据点。
我们一般使用向量的形式来表示函数 $f(x)$：
${\text{f}}(x) = {w^T}x + b$
  我们只需要通过不断的调整 $w$， $b$，就可以找到最符合条件的点。怎么学习这两个参数呢，其实只需要衡量 $f(x_i)$， $y_i$ 之间的差别， 可以使用均方误差 $Loss = \sum\nolimits_{i = 1}^m {{{(f({x_i}) - {y_i})}^2}}$ 来衡量，要做的事情就是希望能够找到 $w$ 和 $b$，使得：
$(w,b) = \mathop {\arg \min }\limits_{w,b} \sum\nolimits_{i = 1}^m {{{(f({x_i}) - {y_i})}^2}} = \mathop {\arg \min }\limits_{w,b} \sum\nolimits_{i = 1}^m {{{({y_i} - w{x_i} - b)}^2}}$
  现在要求解这个连续函数的最小值，那么只需要求它的偏导数，让它的偏导数等于0来估计它的参数，即：
$\frac{{\partial Loss(w,b)}}{{\partial w}} = 2(w\sum\limits_{i = 1}^m {x_i^2 - } \sum\limits_{i = 1}^m {({y_i} - b){x_i}} ) = 0$
$\frac{{\partial Loss(w,b)}}{{\partial b}} = 2(mb - \sum\limits_{i = 1}^m {({y_i} - w{x_i}} )) = 0$

2）实现

  首先创建一些数据点：

	x_train = np.array([[3.3], [4.4], [5.5], [6.71], [6.93], [4.168],
	                    [9.779], [6.182], [7.59], [2.167], [7.042 ],
	                    [10.791], [5.313], [7.997], [3.1]], dtype=np.float32)
	
	y_train = np.array([[1.7], [2.76], [2.09], [3.19], [1.694], [1.573],
	                    [3.366], [2.596], [2.53], [1.221], [2.827], [3.465],
	                    [1.65], [2.904], [1.3]], dtype=np.float32)

  我们可以看看产生的这些离散的数据点：

	plt.scatter(x_train, y_train, color="r")
	plt.xlabel("X")
	plt.ylabel("Y")
	plt.show()

  有了数据，我们就可以开始创建模型：

	class LinearRegression(nn.Module):
	    def __init__(self):
	        super(LinearRegression, self).__init__()
	        self.linear = nn.Linear(1, 1)   # 输入和输出的维度都是1
	    
	    def forward(self, x):
	        out = self.linear(x)
	        return out

  上面我们定义了一个简单的模型 $y=wx+b$ ， 输入输出参数都是一维，当然这里可以根据我们想要的输入输出维度进行更改。同时可以根据电脑有没有英伟达的 $GPU$，来决定使用 $CPU$ 还是 $GPU$ 训练：

	if torch.cuda.is_available():
	    model = LinearRegression().cuda()
	else:
	    model = LinearRegression()

  模型创建好之后，我们需要定义优化函数和损失函数，在 $pytorch$ 中提供了 $torch.optim$ 方法优化我们的神经网络，我们可以直接使用，感兴趣的可以看看深度学习——优化器算法Optimizer详解：

	criterion = nn.MSELoss()  # 损失函数
	optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), 1e-3)	# 优化函数

  接下来我们就可以开始训练模型了，前面生成的数据为 numpy，需要将其转化为深度学习支持的 tensor：

	x_train = torch.from_numpy(x_train)    
	y_train = torch.from_numpy(y_train)

  模型训练，我们这里定义训练6000次：

	num_epochs = 6000
	for epoch in range(num_epochs):
	    x_train = Variable(x_train)   # 将数据变为 Variable
	    y_train = Variable(y_train)
	    
	    output = model(x_train)   # 训练模型
	    
	    loss = criterion(output, y_train)   # 计算损失
	
	    optimizer.zero_grad()   # 梯度归零，不然梯度会累加，造成无法收敛
	    loss.backward()   # 进行反向传播，计算损失函数对于网络参数的梯度值
	    optimizer.step()  # 更新参数值
	
	    if(epoch + 1) % 200 == 0:
	        print("loss: ", loss.data)

  每次训练后的损失如下：

	loss:  tensor(0.1865)
	loss:  tensor(0.1848)
	loss:  tensor(0.1833)
	loss:  tensor(0.1819)
	loss:  tensor(0.1806)
	loss:  tensor(0.1795)
	loss:  tensor(0.1784)
	loss:  tensor(0.1775)
	loss:  tensor(0.1767)
	loss:  tensor(0.1759)
	loss:  tensor(0.1752)
	loss:  tensor(0.1746)
	loss:  tensor(0.1741)
	loss:  tensor(0.1735)
	loss:  tensor(0.1731)
	loss:  tensor(0.1727)
	loss:  tensor(0.1723)
	loss:  tensor(0.1720)
	loss:  tensor(0.1717)
	loss:  tensor(0.1714)
	loss:  tensor(0.1712)
	loss:  tensor(0.1710)
	loss:  tensor(0.1708)
	loss:  tensor(0.1706)
	loss:  tensor(0.1704)
	loss:  tensor(0.1703)
	loss:  tensor(0.1701)
	loss:  tensor(0.1700)
	loss:  tensor(0.1699)
	loss:  tensor(0.1698)

  训练完成后，我们就得到了一条直线尽可能的靠近这些离散的点，下面可以看看预测的效果：

	plt.scatter(x_train.numpy(), y_train.numpy(), color="r", label="origin data")
	plt.plot(x_train.numpy(), output.data.numpy(), "b", label="predict data")
	plt.show()

多项式回归

  对于一般的线性回归，由于该函数拟合出来的是一条直线，所以精度欠佳，我们可以考虑多项式回归，也就是提高每个属性的次数，原理和上面的线性回归是一样的，只不过这里用的是高次多项式而不是简单的一次线性多项式 。
  首先给出我们想要拟合的方程:
$y = 1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3}$
  然后可以设置参数方程：
   $y = b + w_1x + w_2{x^2} + w_3{x^3}$
  可以看到，上述方程与线性回归方程并没有本质区别。所以我们可以采用线性回归的方式来进行多项式的拟合，下面的代码实现，我就不一一细讲了。

	w_target = np.array([2, 3, 4]) # 定义参数
	b_target = np.array([1]) # 定义参数
	
	f_y = 'y = {:.2f} + {:.2f} * x + {:.2f} * x^2 + {:.2f} * x^3'.format(
	    b_target[0], w_target[0], w_target[1], w_target[2]) # 打印出函数的式子
	
	print(f_y)

  获得实际函数的方程式:
$y = 1.00 + 2.00 * x + 3.00 * x^2 + 4.00 * x^3$

	x_sample = np.arange(-1, 1.1, 0.1)
	y_sample = b_target[0] + w_target[0] * x_sample + w_target[1] * x_sample ** 2 + w_target[2] * x_sample ** 3
	
	plt.plot(x_sample, y_sample, label='real curve')
	plt.show()   # 实际图形

  数据准备，我们需要将数据处理成矩阵的方式：

	x_train = np.stack([x_sample ** i for i in range(1, 4)], axis=1)
	x_train = torch.from_numpy(x_train).float() # 转换成 float tensor
	
	y_train = torch.from_numpy(y_sample).float().unsqueeze(1) # 转化成 float tensor

  定义参数和模型，在这里模型也可以使用上面一维线性回归的模型创建方式，感兴趣的朋友可以自己尝试以下，我这里就不再次实现了。

	w = Variable(torch.randn(3, 1), requires_grad=True)
	b = Variable(torch.zeros(1), requires_grad=True)
	
	# 将 x 和 y 转换成 Variable
	x_train = Variable(x_train)
	y_train = Variable(y_train)
	
	def multi_linear(x):
	    return torch.mm(x, w) + b

  定义损失函数与优化函数

	criterion = nn.MSELoss()  # 损失函数
	optimizer = torch.optim.SGD([w, b], lr=1e-3)

  模型训练

	epoch = 0
	while True:
	    y_pred = multi_linear(x_train)
	    loss = criterion(y_pred, y_train)
	
	    optimizer.zero_grad()
	    loss.backward()
	    optimizer.step()
	
	    epoch += 1
	    if loss.data < 0.001:
	        print('epoch {}, Loss: {:.5f}'.format(epoch, loss.data))
	        break

  epoch 42571, Loss: 0.00100，可以看出最后训练了42571次，损失为1e-3，已经是很精确的，下面我们来看看实际效果：

	# 画出更新之后的结果
	y_pred = multi_linear(x_train)
	
	plt.plot(x_train.data.numpy()[:, 0], y_pred.data.numpy(), label='fitting curve', color='r')
	plt.plot(x_train.data.numpy()[:, 0], y_sample, label='real curve', color='b')
	plt.legend()