主要内容（大概）

一、微分方程（组）求解：desolve、ode45、ode23、ode15s
二、代数方程（组）求根：solve、fzero、fsolve
三、多项式的表示、四则运算：poly2sym、poly_add、conv、deconv
四、有理函数的分解：residue

注意：h>0，结果可靠；h<0，结果不可靠
fzero使用要慎重，方程组不适用，只能求单个
数值命令使用的时候：Fun要用inline、@或自定义
数值解，优先使用fsolve（方程组求解），fzero不推荐使用条件苛刻
简单方程使用符号命令，solve比较精确
符号解
例1：求一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根

syms x a b c;
f = a*x^2 + b*x + c;
solve(f), solve(f, a) %第二个参数可以指定未知数
% 结果
ans =  -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
       -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
ans = -(c + b*x)/x^2

例2：求解方程组 $\left\{\begin{matrix}x^2-y=a \\ x+y=b \end{matrix}\right.$

syms x y a b
[x, y] = solve(x^2-y-a, x+y-b, x, y)
% 结果
x = (4*a + 4*b + 1)^(1/2)/2 - 1/2
    - (4*a + 4*b + 1)^(1/2)/2 - 1/2
 
 
y = b - (4*a + 4*b + 1)^(1/2)/2 + 1/2
    b + (4*a + 4*b + 1)^(1/2)/2 + 1/2

数值解
例1：求解方程 $sin(4x) = ln(x)$

错误做法:

syms x
y = solve(sin(4*x) - log(x), x)
%结果
警告: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using vpasolve. 
> In solve (line 304) 
y = - 227.5052470321715202967611647339 - 0.63142516921359725860486070631205i

正确做法:

% 先画图看一看
x = 0.1: 0.1: 4;
y = sin(4*x) - log(x); plot(x, y); grid on

在这里插入图片描述

f = inline('sin(4*x) - log(x)', 'x');
y1 = fzero(f, 0.7)
y2 = fzero(f, [0.5, 1])
[x, f, h] = fsolve(f, 0.7) %错误写法：y2 = fzero(f, [0.5, 2]) 端点取值要异号
% 结果
x = 0.8317
f = 1.3518e-12
h = 1

例2：求解方程组 $\left\{\begin{matrix}x^2-y^3=0 \\ e^{-x}-y=0 \end{matrix}\right.$
绘图：

ezplot('exp(-x) - y'); hold on
ezplot('x^2 - y^3')

在这里插入图片描述
法1：

clear
fun = inline('[t(1)^2-t(2)^3, exp(t(1))-t(2)]', 't');
% 或 fun = @(t)[t(1)^2-t(2)^3, exp(t(1))-t(2)]
t0 = [1, 1];
[t, f, h] = fsolve(fun, t0)
% 结果
t = -0.4839    0.6164
f = 1.0e-09 *
    0.5039    0.3347
h = 1

法2：
步骤1，编写fun.m：

function y = fun(t)
y(1) = t(1)^2 - t(2)^3;
y(2) = exp(-t(1))-t(2);

步骤2，求解：

[t, f, h] = fsolve('fun', [1, 1])
% 结果
t = 0.4839    0.6164
f = 1.0e-09 *
    0.3639    0.1988
h =  1

多项式的表示、四则运算 ↶

1.多项式表示及求值

poly2sym(c); % 多项式函数p(x)的表达式，缺省的自变量为x
polyval(c,a); % 多项式函数p(x)在x=a时的值

2.多项式求根

roots(c); % 多项式函数p(x)=0时的所有根（复数域）

3.多项式运算

poly_add(c1, c2); % 两个多项式和差运算
a = conv(a, b); % 多项式相乘，返回系数向量
[q, r] = deconv(b, v); % 两个多项式相除，返回商的系数
						% vector(q)和余数系数vector(r)
						% q -> 商； r -> 余数

幂系数：在MATLAB里，多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，并从左至右按降幂排列。
$p(x)=c_1x^n+c_2x^{n-1}+...+c_nx+c_{n+1}$ => $c=[c_1, c_2, ..., c_n, c_{n-1}]$
如：

c = [2 1 4 5];
poly2sym(c)
% 结果
ans = 2*x^3 + x^2 + 4*x + 5

t = sym('t'); % 需要给变量t定义为符号变量
poly2sym(c, t)
ans = 2*t^3 + t^2 + 4*t + 5

多项式函数在点a的值：polyval(p, a)
例： $p(x)=3x^4-7x^3+2x^2+x+1$ ，计算p(2.5)

c = [3, -7, 2, 1, 1];
xi = 2.5;
yi = polyval(c, xi) 
% 结果
yi = 23.8125

如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也为与xi长度相同的向量。

c=[3,-7,2,1,1];  xi=[2.5,3];
yi=polyval(c,xi)
% 结果
yi = 23.8125   76.0000

多项式求根roots
例：求方程 $2x^3+x^2+4x+5=0$ 的所有根

c = [2 1 4 5]
roots(c);
roots([2 1 4 5])
% 结果
ans = 0.2500 + 1.5612i
      0.2500 - 1.5612i
     -1.0000 + 0.0000i

多项式的和与差：poly_add

b = poly_add(c,b);  % 求两个多项式的和
b = poly_add(c,-b); % 多项式p1(x)减去p2(x)
				  % 其中b是求和后多项式的系数矩阵。

两个多项式的乘积与商：conv; deconv
m阶多项式与n阶多项式的乘积是d=m+n阶的多项式
a=conv(c,b);%多项式相乘，返回系数向量

a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18];
c=conv(a,b)
% 结果
c = 6  -195   432  -453     9  -792  -162

[q, r]=deconv(b,c);%两个多项式相除，返回商的系数vector(q)和余数系数vector(r)
即 b=conv(q,c)+r

a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18];
c=conv(a,b)
% 结果
c = 6  -195   432  -453     9  -792  -162

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Fin.

Matlab学习笔记（四）

主要内容（大概）

目录

微分方程（组）求解

代数方程（组）求根

多项式的表示、四则运算

微分方程（组）求解 ↶

代数方程（组）求根 ↶

多项式的表示、四则运算 ↶

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