拓展BSGS

拓展 BSGS

前置芝士？

上个 \(BSGS\) 的没有写是因为可以水博客（大雾

作用

和 \(BSGS\) 一样，不过是 \(gcd(y,p)\not= 1\) 的情况

推导过程

\[y^x\equiv z(mod~p) \]

令 \(d=gcd(y,p)\)

将方程改写为等式形式

\[y^x+kp=z \]

发现此时的 \(z\) 必须是 \(d\) 的倍数，否则无解

因此，除掉 \(d\)

\[\dfrac{y}{d}y^{x-1}+k\dfrac pd=\dfrac zd \]

这样前面的 \(y/d\) 就是一个系数了，

不断检查 \(gcd(\frac zd,y)\) ，一直除到互质为止

此时方程就变为

\[\dfrac{y^k}{d}y^{x-k}\equiv\dfrac zd(mod~\dfrac pd) \]

然后用 \(BSGS\) 求解完还原回去就行了

例题

SP3105 MOD - Power Modulo Inverted

思路

真的是模板，连套路都没有

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define re register

using namespace std;
const int HashMod=123456;

inline int read(){
	re int x=0,f=1;
	re char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
 
int fpow(int a,int b,int mod)
{
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)
			s=1ll*s*a%mod;
			a=1ll*a*a%mod;
			b>>=1;
	}
	return s;
}
 
struct HashTable//hash表  
	{
		struct Line{ int u,v,next;}e[1000000];
		int h[HashMod],cnt;
		void add(int u,int v,int w)
		{
			e[++cnt]=(Line){w,v,h[u]};h[u]=cnt;
		}
		void Clear(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;}
		void Hash(int x,int k){
			int s=x%HashMod;
			add(s,k,x);
		}
		int query(int x){
			int s=x%HashMod;
			for(re int i=h[s];i;i=e[i].next)
				if(e[i].u==x) return e[i].v;
				return -1;
		}
	}Hash;
void ex_BSGS(int y,int z,int p){
	if(y%p==0){
		puts("No Solution");
		return ;
	}
	y%=p;z%=p;
	if(z==1) {
		puts("0");
		return ;
	}
	int k=0,a=1;
	while(1)
	{
		int d=__gcd(y,p);if(d==1)break;
		if(z%d){puts("No Solution");return;}
		z/=d;p/=d;++k;a=1ll*a*y/d%p;
		if(z==a){printf("%d\n",k);return;}
	}
	int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear(); 
	for(re int i=0,t=z;i<m;i++,t=1ll*t*y%p) Hash.Hash(t,i); 
	for(re int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=1ll*a*tt%p;i<=m;i++,t=1ll*t*tt%p)
	{
		int b=Hash.query(t);
		if(b==-1) continue;
		printf("%d\n",i*m-b+k);
		return ;
	}
	puts("No Solution");
}

int main()
{
	int x,z,k;
	while(233)
	{
		x=read();z=read();k=read();
		if(x==0&&z==0&&k==0)break;
		ex_BSGS(x,k,z);
	}
	return 0;
}