Number Sequence (矩阵快速幂)

Description

A number sequence is defined as follows:
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.

Output

For each test case, print the value of f(n) on a single line.

Sample Input

1 1 3

1 2 10

0 0 0

Sample Output

2

5

题意：
题意很简单就是给你一个数n，让你求F(n)

分析：
网上有很多博客上写找规律，找循环节，但是当你们问他为什么这个周期是这些，却很难回答。如果它真的具有规律并具有固定周期，一定可以通过某种方法证明，只不过我们不会，但对于这个题目应该是没法证明的，看HDU的discuss中就给了下面几组测试数据。

input
247 602 35363857
376 392 9671521
759 623 18545473
53 399 46626337
316 880 10470347
0 0 0
output
4
3
5
2
3

这几组测试数据如果去验证所谓规律AC的代码，有几个实际上是不对的

因此考虑到斐波那契数列的性质，这个题和斐波那契数列很类似，发现我们应该使用矩阵快速幂来做，矩阵很小，模板直接写。

设

那么

对于，

n为偶数时

n为奇数时

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Matrix
{
	int m[2][2];
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
	Matrix ans;
	for(int i = 0; i < 2; i++)
	{
		for(int j = 0; j < 2; j++)
		{     
			ans.m[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < 2; k++)
			{
				ans.m[i][j] = (ans.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % 7) % 7;
			}
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int A,B,n;
	while(scanf("%d%d%d",&A,&B,&n) != EOF)
	{
		if(A == 0 && B == 0 && n == 0) break;
		if(n==2||n==1)
		{
			printf("1\n");
			continue;
		}
		Matrix a,ans;
		a.m[0][0] = A;
		a.m[0][1] = B;
		a.m[1][0] = 1;
		a.m[1][1] = 0;
		ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;
		ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
		n -= 2;
		while(n)
		{
			if(n & 1)
			{
				ans = mul(ans,a);
			}
/*
&是位与操作符，n&1,是将n的二进制形式与00000000 00000001按位做与操作,这时，只要n的最右边一位是1，结果就不是0，为true，条件成立。所以这句话实际上就是if(n%2==1)
当n是奇数的时候，一开始就要进入if判断，乘了一次矩阵a,n是偶数的话，就不会乘这一次矩阵a。然后利用二分的思想进行矩阵相乘。 
*/
			n >>= 1;
			a = mul(a,a);
		}
		printf("%d\n",(ans.m[0][0] + ans.m[0][1]) % 7);
	}
	return 0;
}

我们再通过几个例子加深理解矩阵乘法与递推式之间的关系：(做这种题重点就在通过递推关系构造矩阵)

①斐波那契 f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2]

则可以补充为：

f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2]

f[i-1] = 1*f[i-1] + 0*f[i-2];

即