Codeforces Round #230---C：Yet Another Number Sequence（矩阵快速幂）

题目：

戳一戳~~

给定k，n，定义Ai = Fi + i ^ k，其中Fi为斐波拉契数列，求Ai数列的前n项和

分析：

推荐阅读：根据递推公式构造系数矩阵

容易得到递推式：

n^k 没有递推式，这样构造的系数矩阵和n有关，就不能矩阵快速幂，考虑二项式定理：

这样n^k也是递推形式的，代入上式构造如下的矩阵：

不难验证系数矩阵的正确性，可以初始化n-1 = 1 ，那么第二个矩阵全为1，矩阵中的组合数通过杨辉三角来预处理，避免溢出，剩下的就是矩阵快速幂了

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9+7;
LL n,k,a[100][100],b[100][1],C[50][50];
void cal(){                                 //预处理组合数
    for(int i = 0;i <= k; ++i){
        C[i][0] = 1;
        for(int j = 1;j <= i; ++j)
            C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % MOD;
    }
}
void init(){                                 //预处理系数矩阵和答案矩阵
    cal();
    for(int i = 0;i < 2*k+3; ++i) b[i][0] = 1;
    a[2*k+2][2*k+2] = 1;                    
    for(int i = 0;i < k+1; ++i) 
        a[2*k+2][i] = a[2*k+2][i+k+1] = C[k][i];
    for(int i = 0;i < k+1; ++i)
        for(int j = i; j < k+1; ++j)
            a[i][j] = a[i][j+k+1] = a[i+k+1][j] = C[k-i][j-i];
}
void calmatrix1(){
    LL c[100][1] = {0};
    for(int i = 0;i < 2*k+3; ++i)
        for(int j = 0;j < 2*k+3; ++j)
            c[i][0] = (c[i][0] + a[i][j]*b[j][0]) % MOD;
    memcpy(b,c,sizeof(c));
}
void calmatrix2(){
    LL c[100][100] = {0};
    for(int i = 0;i < 2*k+3; ++i)
        for(int j = 0;j < 2*k+3; ++j)
            for(int t = 0;t < 2*k+3; ++t)
                c[i][t] = (c[i][t] + a[i][j]*a[j][t]) % MOD;
    memcpy(a,c,sizeof(c));
}
LL solve(LL x){
    init();
    x -= 1;
    while(x){
        if(x & 1) calmatrix1();
        calmatrix2();
        x >>= 1;
    }
    return b[2*k+2][0];
}
int main()
{
    cin >> n >> k;
    cout << solve(n);
    return 0;
}