线性方程组基础解系的简便算法

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线性方程组的求解是线性代数中的基本技能，而齐次线性方程组的基础解系的求法又是基础。本文给出一个计算齐次线性方程组的基础解系的公式，从而简化计算过程。

符号说明

• n元线性方程组的矩阵形式：(1)齐次线性方程组 $Ax=0$;（2）非齐次线性方程组 $Ax=b$;
• 系数矩阵： $A$;
• 增广矩阵： $(Ab)$;
• 高斯消元法将系数矩阵化为最简形式：

$A\rightarrow\begin{pmatrix}E_r & F \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

公式及用法

由行最简形 $\begin{pmatrix}E_r & F \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，得到齐次方程组的解矩阵为

$\begin{pmatrix}-F \\ E_{n-r}\end{pmatrix}$

例1 求解齐次线性方程组 $Ax=0$的基础解系，其中

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1& 2&1&4\\2&3&2&7\end{pmatrix}$

解：高斯消元法：

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1& 2&1&4\\2&3&2&7\end{pmatrix}\rightarrow \ldots 此处省略50字$
$\rightarrow \begin{pmatrix}1&0&1&2\\0& 1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

此处， $F=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$,所以由上述解矩阵公式可得，

$\begin{pmatrix}-1&-2\\0&-1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}$,

所以这个齐次方程组的基础解系为

$\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}$和 $\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$.