BSGS 和 ExBSGS 都是用于解决形如形如下式的高次同余方程的。
\[ a^x\equiv b\ (mod\ p) \]
同样的先考虑a，p为质数的情况。
令：
\[ x=i*t-j \]
那么：
\[ a^x\equiv b\ (mod\ p) \iff a^{i*t-j}\equiv b\ (mod\ p) \iff a^t\equiv b*a^j\ (mod\ p) \]
可以对于每一个j∈[0,t-1]，把右边式子的结果用map存下（模p意义下）。
假设i枚举的上界为T，那么可以枚举i∈[0,T]，一次把左边式子的结果在map中查询即可。
实际上Tmax=（p-1）/ t。
证明：
\[ ∵\ a，p互质\\ ∴\ a^\phi(p)\equiv 1\ (\mod p)\\ ∴ 每经过\phi(p)就会出现之前出现过的答案，即循环节。\\ ∴ x=i*t≤\phi(p)≤p-1\\ ∴ i≤\frac{p-1}{t} \]
基于此，当t取 根号p 时，时间复杂度最低。
当a，p不一定互质时，需要用到ExBSGS。
\[ 令：\ d_0=1\ \ d_1=gcd\ (a,p)\\ 则 \frac{a^x}{d_1}\equiv \frac{b}{d_1}\ (mod\ \frac{p}{d_1})\\ \iff a^{x-1}*\frac{a}{d_1}\equiv \frac{b}{d_1}\ (mod\ \frac{p}{d_1})\\ 如上继续定义：\ d_i=gcd\ (a,\frac{p}{\prod_{j=0}^{i-1}d_{j}}) \]
若d[T+1]恰好第一次等于1，则此时方程可写为：
\[ a^{x-T}*\frac{a^T}{\prod_{i=1}^{T}d_i}\equiv \frac{b}{\prod_{i=1}^{T}d_i}\ (mod\ \frac{p}{\prod_{i=1}^{T}d_i}) \]
发现此时可以直接用BSGS求解！
若过程中存在不能整除的现象，则判定为无解。