背包问题是几个经典的问题之一，经典的问题去理解一下，理解好之后会形成一个印象，但是还需要做一些题目加以练习。
一、问题描述
一个旅行者随身携带一个背包。可以放入背包的物品有n 种, 每种物品的重量和价值分别为 wi, vi。 如果背包的最大重量限制是 b, 每种物品可以放多个。怎样选择放入背包的物品以使得背包的价值最大 ? 不妨设上述wi, vi, b 都是正整数
notes：背包有一个重量的约束，不能无限制的装入物品，被装的物品是不可以切割的，整体的装或者不装。另外如果物品数量没有限制的话，那其实就是一个完全背包问题，如果数量有限制，只能装进去1次或者不装进去那这就是0-1背包问题，现在我们研究完全背包问题。
二、实例分析
实例： n = 4，b =10
v1= 1, v2= 3, v3= 5, v4= 9,
w1= 2, w2= 3, w3= 4, w4= 7,
notes：现在我们看这个实例，有一个物品重量是：2，价值是：1（省去单位），第二个物品重量是：3，价值是：3（省去单位）。总限制b是：10。所以现在就是装第三个物品W3，就可以装第一个和第二个物品（4+3+2<10），而不能装第四个物品（4+7>10）。现在就需要想办法怎么去选择这些物品装到背包里面能达到最大。
1、建模
目标函数就在这里，其实是要求一个向量，这个向量就是物品装入背包，某一个物品的个数是xi ，将xi 乘上各自物品的价值，然后累计起来然后达到最大，这个就是我们要做的事情，约束条件就是背包重量的约束，每一个物品的重量乘上这个物品本身的数量然后累计起来（总重量）要小于等于b。
解是<x1, x2,…, xn>，其中xi 是装入背包的第 i 种物品个数
线性规划问题: 由线性条件约束的线性函数取最大或最小的问题
整数规划问题: 线性规划问题的变量 Xi都是非负整数
2、子问题界定和计算顺序
在背包问题里面依然是考虑物品的数量，物品的类别，如果在很多物品里面来考虑，可能这个问题比较困难，那可以将物品的个数缩小一点，比如一个子集里面来考虑，然后背包的重量的约束如果很小的话，其实很容易选择，背包重量大一点就不太好选择。
这个地方我们就可以考虑将物品的种类约束一下，将背包的重量也做一个约束，由这两个参数就可以确定一个子问题，现在另外一个问题就是，最优子结构是不是满足，当然最优子结构说的是背包。
原始背包问题里面b的值达到最大的时候，以及k所有物品都作为考虑对象的时候，要取的一个最优解，这个最优解，它是不是包含了它子问题的最优解。
（1）子问题界定：由参数k和y界定
k：考虑对物品1，2，…，k的选择
y：背包总重量不超过y
原始输入：k=n,y=b
（2）子问题计算顺序：
k=1,2……，n
对于给定的k，y=1,2,……,b
3、优化函数的递推方程
（1）原问题和子问题的递推关系是怎么样的？
和投资问题比较相似，取一个优化函数
前k种的意思是：将所有的物品做一个排列，这个排列其实是没有标准的，就是前k种，我们根据物品给定的序列给一个排列就好了，给我们的顺序是多少就把这个东西作为是一种物品的序列，然后在前k种物品里面考虑。
图上表示的就是前k种物品，在这个集合里面背包的重量不超过y，要把这些物品装入到背包里面，有一个最优的放置的方法，这个时候达到最优的时候总会有一个最好的方法，得到的价值达到最大时就把值称之为最大价值Fk(y)。
（2）接下来把问题规模扩大一点观察它们之间的关系
Fk(y) = max{ Fk-1(y) } , Fk( y-wk ) + Vk }
max：表示求最大
Fk-1(y)：第k个物品不考虑了，就在前面的k-1个物品里来考虑，在约束是y的时候达到的一个最大的价值
Fk( y - wk ) + Vk ：第k个物品要考虑先把它装一份进去，剩下的约束还是在前k个物品里来考虑，装进去之后加上Vk就是说装进去之后价值自然增加了一个Vk，在Fk里继续考虑，物品还可以继续的装进去，所以需要在前k个物品最优的装法里面继续来考虑，前面这项表示的是不考虑第k个物品，第k个物品完全不装，和至少装一份这是两种完全不同的选择，这两种选择到底哪一个好，如果哪一个更大它就更好。
（3）那么这两种哪一个更大呢？所以就取一个max符号，这个时候哪一个值更大，就构成在前k个物品考虑的时候，它的最好的装法其实是和前k-1个物品考虑的子问题之间非常强烈的关系，
这个关系就是第k个物品是完全不装到背包里面，另一种选择是至少要装一份第k个物品装进去。
剩下的背包依然在前k个物品里面去考虑，这个时候就有可能在装一份，这个时候就是完全背包。
如果是0-1背包的话，这个地方就是装一份和不装，这两种情况的选择，就不再是至少装一份和不把第k个物品完全装进去的这种选择。
（4）这个递推公式它所描绘的是子问题和原问题的这种递推
一开始的时候假定在k-1这个物品里面其实已经找到了最优解，已经得到一个最大值了，接下来就是在物品在扩展一点点的时候，能不能找到一个最大值，能不能找到它的最大值和它有没有什么关系，当然这个地方有一些初始的值，比如说现在没有任何物品背包重量是多大最大值都是0，背包总的重量是b，y是在[0,b]的区间里面。
背包的重量最大的约束就是0，背包其实不能装任何东西，Fk(0)=0，这个k的选择是[0,n]，也就是说一开始没有任何的物品需要考虑就是0，物品的个数是从前1种，前2种，前3种……前k种这样依次去考虑。
F1(y)是比较好计算的，这个符号的含义表示前1种物品里面去装物品，约束是y，只要第一个物品有一点价值，就考虑把它装进去，其实它就是能装到最大，表示能装入第一个物品的最大的数量，然后把数量除以W1向下取整乘第一个物品的价值，就得到最大的值。
当y为负数的时候没有任何约束，这个背包其实已经超重了，超重是不允许的，所以这个时候最大的价值就是-∞。
（5）类似投资问题写的递推方程
这个地方xk做一个遍历，第k个物品到底是装0份，装1份，装2份，……，每一种情况都考虑一下。
不装就是装0份，装0份后考虑剩下的重量就完全拿给前k-1种物品来考虑， Fk-1( y - 0 )+0 ，装1份： Fk-1( y - 1 · vk)+ 1· vk，xk继续增长这种方程更好理解，但是不过没有上面的写法效率高。
4、标记函数
ik(y): 装前 k 种物品, 总重不超 y, 背包达 到最大价值时装入物品的最大标号
子问题重叠，在反复调用递推函数的时候，重复的调用了问题规模较小的子问题，所以在做背包问题的时候要设计备忘录，备忘录就是将子问题的解给存储起来的表格，存储背包问题，需要存 Fk，当约定k的时候k做横轴，y做纵轴，
三、实例
一共有4个物品，第一个物品重量是2，价值是1；第二个物品重量是3，价值是3；第三个物品重量是4，价值是5；第四个物品重量是7，价值是9。总的背包的约束重量是10（有10的最大的重量）
1、输入
v1 =1, v2=3, v3=5, v4=9,
w1=2, w2=3, w3=4, w4=7,
b=10
2、Fk (y) 的计算表
| k/y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 1 | 3 | 3 | 4 | 6 | 6 | 7 | 9 | 9 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 5 | 5 | 6 | 8 | 10 | 10 | 11 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | 5 | 5 | 6 | 9 | 10 | 10 | 12 |
每一行的坐标代表，y的值，也就是重量的约束，每一列是代表物品，只在第一个物品里面考虑——k取1；只在第一和第二个物品里面考虑——k取2……
首先我们来看第一行，y的取值，第一个物品能装多少个的问题。
① 第一行 k=1：
y=1时，所有物品的重量都大于1，所以最大价值为0
y=2时，能且只能装第一个物品，w1=y=2，最大价值为1
y=3时，可以装1个第一个物品，w1=2<y=3，最大价值为1
y=4时，4/2=2，可以装2个第一个物品，最大价值为2v1=2
y=5时，5/2=2.5向下取整为2，物品是不能切割的但是又不能超过重量，只能装2个第一个物品，价值单位为1，最大价值为2v1=2
y=6时，6/2=3，可以装3个第一个物品，最大价值为3v1=3
y=7时，7/2=3.5向下取整为3，物品是不能切割的但是又不能超过重量，只能装3个第一个物品，价值单位为1，1x3=3，价值取3，最大价值为3v1=3
y=8时，8/2=4，可以装4个第一个物品，最大价值为4v1=4
y=9时，9/2=4.5向下取整为4，物品是不能切割的但是又不能超过重量，只能装4个第一个物品，价值单位为1，1x4=4，价值取4，最大价值为4v1=4
y=10时，10/2=5，可以装5个第一个物品，最大价值为5v1=5
自底向上，其实这个问题是在逐渐扩大规模的，把y的值来扩展
② 第二行 k=2：
y=1时，所有物品的重量都大于1，所以为0
y=2时，在前两个物品里面考虑，第二个物品w2=3>y=2，所以第二个物品没有办法装进去，所以只能根据递推公式取第一个值（F1(2),0），这两者之中取最大，查表得F1(2)=1，最大价值为1
y=3时，在前两个物品里面考虑，F2（3）=max{F1(3),F2(3-w2)+V2}=max{1,3}=3，最大价值是3
……
只有查表，没有重复计算，这个是备忘录的优点
3、追踪解
（1）这个表会计算之后，再算12的时候其实是做了一个选择的，这个选择就是第4个物品确实要装1份，在求F4(10)的时候，其实是经过计算之后第4个物品，F4(10)在最后那个物品装进去之后就一定是第4，这个时候记录一下装入的最大物品的序号就是4，这个地方有1个4需要记录下来，表明当前这个选择装入的物品最大标号是4。
（2）ik(y)的值是需要被记录下来的，表示我们要追踪的时候，现在在前4个物品里面，如果重量约束是10的话，装入物品的最大的标号是4，表明4个物品至少要装1份，所以第4个物品是≥1的。
追踪解
| k/y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 4 | 4 |
（3）接下来在追踪i2(3)的值，因为这个重量已经从10变成了3，减掉了7个，所以要查i4(3)，这一项一查发现是2，2的含义是求得它的最大的时候，其实它装入物品最大的标号是2，所以第二个物品至少要装1份
（4）接着继续查询至i2(0)，最大的标号是0，最后的解是第4个物品就等于1，第2个物品等于1，所以只装入这两个物品价值达到最大
i4(10)=4 → x4≥1
i4(10－w4)=i4(3)=2 → x2≥1, x4 =1, x3=0
i2(3－w2)=i2(0)=0 → x2=1, x1=0
解 x1=0, x2=1, x3=0, x4=1，价值12
四、追踪算法
输入: ik (y)表, k=1,2,…,n, y=1,2,…,b
输出: x1, x2,…,xn，n种物品的装入量
1. for k←1 to n do xk← 0
2. y←b, k←n
3. j←ik (y)
4. xk ←1
5. y←y- wk
6. while ik(y)=k do
7. y←y-wk
8. xk←xk+ 1
9. if ik(y)≠0 then goto 4
五、总结
动态规划算法解背包问题的算法里面，其实就是递归算法的用备忘录做了一个优化，可以这样去理解，一开始就不要去想表格该怎么样去设计，如果这样想就相当于把这个问题跨越了好几步，马上就变的很困难。
首先应该想到的原问题和子问题，子问题该怎么界定，然后再想原问题和子问题之间有没有最优子结构的关系，接着基于最优子结构的关系的基础上找出一个递推公式来，接下来就可以写递归算法，在得到递推方程之后，已经可以用递归的算法求解了。
在递归的基础上，设计一个表格来存储里面的东西，把子问题存储下来，其实就不用重复计算了。