【题目】
给定一个数组,数组中只包含0和1。请找到一个最长的子序列,其中0和1的数量是相同的。
例1:10101010 结果就是其本身。
例2:1101000 结果是110100
【解析】
这个题目,看起来比较简单,一些同学可能认为题目的描述符合动态规划的特征,然后就开始用动态规划解,努力找状态转移方程。这些同学的感觉,是很正确的。
但找状态转移方程,我们要对原来的数组进行变换一下。原来是0和1的串,我们将0都换为-1。
这样题目目标就变成,找到一个最长的子串,子串数字和是0。设原数组为A, DP[i]表示从0开始到i的子数组和。DP遍历一遍数组即可。
例1中的数组产生的DP为:
这个例子,最后一个值是0,并且长度是偶数位。直接满足了结果。
再看例子2:
5的位置为0,最长子串从0开始到5,长度为6。
上面这两个例子,所求的子串都是从头开始,如果不是从头开始,会是什么样的呢?看这个例子:1101100
通过观察上面的表格,我们可以得到,DP[0]==DP[6]==DP[2],DP[1]==DP[3]. 根据DP的定义,如果DP[i]==DP[j],i 一种方法,
我们用map保存DP的值到位置的映射,如下表:
我们最终的算法,要综合考虑最常穿是否从头开始的。 上面的这个思路,时间复杂度是O(n),空间复杂度也是O(n).
还有其他的思路,例如DP保存的是[0,i]的1的个数,那么DP[j] - DP[i] * 2 == j - i则表明A[i+1]...A[j]是一个满足条件的串,
找到j-i最大的,就是最终的结果,这个思路的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n).
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<map>
using namespace std;
//最长的01字串
string MaxSubStr(string str){
int len=str.length();
int* dp=new int[len+1];
//dp下标从1开始
dp[1]=(str[0]-'0')==1?1:-1;
for(int i=2;i<=len;i++){
dp[i]=(str[i-1]-'0')==1?1:-1;
dp[i]+=dp[i-1];
}
//统计最大01字串
int start = 0,end = 0,max = 0,begin;
map<int,int> m;
for(int i = 1;i <= len;i++){
//不同dp值原始起点
begin = m[dp[i]];
if(begin==0&&dp[i]!=0){
m[dp[i]]=i;
}
else{
//更新最大子串
if(i-begin>max){
max=i-begin;
start=begin;
end=i;
}
}
}
return str.substr(start,max);
}
int main(){
string str("01101100001");
cout<<"Max:"<<MaxSubStr(str)<<endl;
return 0;
}