洛谷P3868 [TJOI2009]猜数字【中国剩余定理】

题目描述

现有两组数字，每组k个，第一组中的数字分别为：a1，a2，…，ak表示，第二组中的数字分别用b1，b2，…，bk表示。其中第二组中的数字是两两互素的。求最小的非负整数n，满足对于任意的i，n - ai能被bi整除。

输入格式：

输入数据的第一行是一个整数k，（1 ≤ k ≤ 10）。接下来有两行，第一行是：a1，a2，…，ak，第二行是b1，b2，…，bk

输出格式：

输出所求的整数n。

输入样例

3
1 2 3
2 3 5

输出样例

23

说明

所有数据中，第一组数字的绝对值不超过$10^{9}$（可能为负数），第二组数字均为不超过6000的正整数，且第二组里所有数的乘积不超过$10^{18}$

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题目分析

由题意知

$$\begin{cases} (n-a_1)\mid b_1 \quad \\ (n-a_2)\mid b_2 \quad \\ ...\quad \\ (n-a_k)\mid b_k\quad \\ \end{cases}$$
变换成同余方程组得
$$\begin{cases} n-a_1\equiv 0(\mod b_1)\quad \\ n-a_2\equiv 0(\mod b_2) \quad \\ ...\quad \\ n-a_k\equiv 0(\mod b_k)\quad \\ \end{cases}$$
根据同余式变换法则
如果有 $a\equiv b(\mod m)$
则 $a+c\equiv b+c(\mod m)$成立
将上述方程组变形得
$$\begin{cases} n\equiv a_1(\mod b_1)\quad \\ n\equiv a_2(\mod b_2)\quad \\ ...\quad \\ n\equiv a_k(\mod b_k)\quad \\ \end{cases}$$

到这里就是裸得中国剩余定理了
不过要注意计算前要将所有$a[i]=(a[i]\mod b[i]+b[i])\mod b[i];$

另外这题出题人用(sang)心(xin)良(bing)苦(kuang)
要用快速乘，不然最后一个点爆long long

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long lt;

lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

int k;
lt a[20],b[20];

lt qmul(lt a,lt b,lt mod)
{
    lt ans=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
    if(b==0){ x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
}

lt china()
{
    lt ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=k;++i) lcm*=b[i];
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        lt tp=lcm/b[i];
        exgcd(tp,b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
        ans=(ans+qmul(qmul(tp,x,lcm),a[i],lcm))%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

int main()
{
    k=read();
    for(int i=1;i<=k;++i) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=k;++i) b[i]=read();
    for(int i=1;i<=k;i++) a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
    cout<<china();
    return 0;
}