[Luogu P3868] [TJOI2009] 猜数字

洛谷传送门

题目描述

现有两组数字，每组 $k$ 个，第一组中的数字分别为： $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_k$ 表示，第二组中的数字分别用 $b_1$ ， $b_2$ ，…， $b_k$ 表示。其中第二组中的数字是两两互素的。求最小的非负整数 $n$ ，满足对于任意的 $i$ ， $n - a_i$ 能被 $b_i$ 整除。

输入输出格式

输入格式：

输入数据的第一行是一个整数 $k$ ，（ $1 ≤ k ≤ 10$ ）。接下来有两行，第一行是： $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_k$ ，第二行是 $b_1$ ， $b_2$ ，…， $b_k$

输出格式：

输出所求的整数 $n$ 。

输入输出样例

输入样例#1：

3
1 2 3
2 3 5

输出样例#1：

说明

所有数据中，第一组数字的绝对值不超过 $10^9$ （可能为负数），第二组数字均为不超过 $6000$ 的正整数，且第二组里所有数的乘积不超过 $10^{18}$

每个测试点时限 $1$ 秒

注意：对于C/C++语言，对 $64$ 位整型数应声明为long long，如使用scanf, printf函数（以及fscanf, fprintf等），应采用 $\%lld$ 标识符。

解题分析

其实是一道 $CRT$ 板题…

大概条件是这样的：

x \equiv a_{1} (m o d b_{1}) x \equiv a_{2} (m o d b_{2}) . . . x \equiv a_{n} (m o d b_{n})

$x\equiv a_1 (mod\ b_1) \\ x\equiv a_2 (mod\ b_2) \\ ... \\ x \equiv a_n (mod\ b_n)$
因为

b_{i}

$b_i$ 互质，这就好办了。设

M = b_{1} \times b_{2} \times b_{3} \times . . . \times b_{n}

$M=b_1\times b_2\times b_3\times ...\times b_n$ ，

M_{i} = \frac{M}{b_{i}}

$M_i=\frac{M}{b_i}$ 。

对于每个 $M_i$ ，我们可以求出其在 $mod\ b_i$ 意义下的逆元 $inv_i$ ，那么 $M_i\times inv_i\equiv 0(mod\ b_j)(j\neq i)$ 且 $M\times inv_i\equiv 1(mod\ b_i)$ ，我们的任务就完成了，只需要每一项乘上 $a_i$ 就好。

后面的点会直接乘会爆 $long \ long$ ，所以就用龟速乘（其实和快速幂差不多）。

$a_i$ 可能为负数，先取模并保证是正数。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define MX 105
#define gc getchar()
#define ll long long
bool neg;
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    for (; !isdigit(c); c = gc)
    if(c == '-') neg = true;
    for (;  isdigit(c); c = gc)
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
    if(neg) neg = false, x = -x;
}
IN ll qmul(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ret = 0, mul = a;
    for (R int i = 0; i <= 62; ++i, a = a * 2 % mod)
    if(b & (1ll << i)) ret = (ret + a) % mod;
    return ret;
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) return x = 1, y = 0, void();
    exgcd(b, a % b, x, y);
    ll buf = x; x = y, y = buf - a / b * y;
}
ll md[MX], rm[MX];
int num;
IN ll CRT()
{
    ll M = 1, Mi, x, y, ans = 0;
    for (R int i = 1; i <= num; ++i) M *= md[i];
    for (R int i = 1; i <= num; ++i)
    {
        Mi = M / md[i];
        exgcd(Mi, md[i], x, y);
        x = (x % md[i] + md[i]) % md[i];
        ans = (ans + qmul(qmul(x, rm[i], M), Mi, M)) % M;
    }
    return (ans + M) % M;
}
int main(void)
{
    in(num);
    for (R int i = 1; i <= num; ++i) in(rm[i]);
    for (R int i = 1; i <= num; ++i) in(md[i]), rm[i] = (rm[i] % md[i] + md[i]) % md[i];
    printf("%lld", CRT());
}