【训练题23：中国剩余定理】猜数字 | P3868 [TJOI2009]

猜数字 | P3868 [TJOI2009]

前置知识

拓欧求逆元：见我的这篇
快速乘

难度

$提高+/省选-$
$CRT$ 的模板题，学到了许多技巧

题意

给定两个数组 $a_1\cdots a_k$ 和 $b_1\cdots b_k$
让你求出一个最小的 $n$ ，使得 $\forall i\in [1,k]\to b_i|(n-a_i)$

数据范围

$b_i$ 两两互素
$1\le k\le 10$
$|a_i|<10^9$
$1\le b_i\le 6\times 10^3$
$\prod b_i<10^{18}$

思路

• 化简所满足的式子，就是求 $n\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_i)$
• 这个就是中国剩余定理CRT了
• 令 $M=\prod b_i$，令 $M_i=\frac{M}{b_i}$，令 $M_i^{-1}$为模 $b_i$ 意义下 $M_i$ 的逆元
• 其中必须满足 $b_i$ 两两互素。
• 则最终答案为 $$\left(\sum _i{a}_i{M}_i{M}_i^{-1}\right)\%M$$
• 证明可以看MashiroSky：中国剩余定理学习笔记，很详细很好。
• 注意点1：里面 $a_i$ 可能是负数，首先转化成取模意义下的正数。
• 注意点2：中间 $a_i{M}_i{M}_i^{-1}$ 有的数很大，模可能达到 $10^{18}$，所以直接乘会爆long long，需要使用到快速乘。
• 注意点3：中间 $b_i$ 不一定是素数，所以求 $M_i^{-1}$ 需要使用拓欧求逆元。

核心代码

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
ll aa[20],bb[20];
ll qmul(ll a,ll b,ll mod){
    
    		/// 快速乘，可以和快速幂对比一下
    ll ans = 0;
    a = (a%mod+mod)%mod;
    if(b>a)swap(a,b);
    while(b){
    
    
        if(b&1){
    
    
            ans = (ans + a) % mod;
        }
        a = (a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    
    	/// 拓欧代码
    if(b==0){
    
    
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b*y;
    return ans;
}
ll inv2(ll a,ll mod){
    
    				/// 拓欧求逆元
    ll x,y;
    ll g = ex_gcd(a,mod,x,y);
    if(g!=1)return -1;
    return (x%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    
    
    int n;
    cin >> n;
    ll M = 1LL;
    for(int i = 1;i <= n;++i)cin >> aa[i];
    for(int i = 1;i <= n;++i)cin >> bb[i],M*=bb[i];
    ll ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
    
    
        ans = (ans + qmul(qmul(aa[i],M/bb[i],M),inv2(M/bb[i],bb[i]),M))%M;
        ans = (ans + M) % M;
    }
    cout << ans;

    return 0;
}