旋转体表面积公式推导及证明错误

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申明： 仅仅个人小记

举例探讨： y=f(x)连续,绕x轴旋转，求旋转体的表面积
用微元法求解旋转体表面积，
微元法的使用前提条件:实际量和近似量之间误差必须为高阶无穷小

显然，实际量是不好直接描述的(不然也就不会来采用定积分的方法了)，但是我们能够表述出实际量的估计范围。

正确的方案

实际量$\Delta S_r \in [2\pi f_{min}\Delta s,2\pi f_{max}\Delta s]$
近似量为$2\pi f(x) \Delta s$
要求实际量和近似量之差为高阶无穷小，这里的自变量为x。
计算误差：

$$\Delta E = \Delta S_r - 2\pi f(x) \Delta s\in [2\pi(f_{min}-f(x))\Delta s, 2\pi(f_{max}-f(x))\Delta s]=2\pi\Delta s[f_{min}-f(x),f_{max}-f(x)]$$
因为函数y=f(x)连续，所以当 $\Delta x \to 0$，必然有 $f_{max}-f(x) , f_{min}-f(x) \to 0$，又因为 $\Delta s= \sqrt{1+{f'(x)}^{2}}\Delta x$，所以 $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta E}{\Delta x}=\frac {2\pi\Delta s[f_{min}-f(x),f_{max}-f(x)]}{\Delta x}=2\pi \sqrt{1+{f'(x)}^{2}}[f_{min}-f(x),f_{max}-f(x)]=2\pi \sqrt{1+{f'(x)}^{2}}*0=0$$
所以当 $\Delta x \to 0$时，误差 $\Delta E$恒为 $o(\Delta x)$，满足微元法的使用条件。
所以，y=f(x)绕x轴旋转的旋转体的表面积为 $$S=\int_{a}^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}dx$$ 。

易错的方案(解释为什么错)

容易认为旋转体的表面积公式是

$$S=\int_{a}^{b}2\pi f(x)dx$$
错误根因就是错误得使用了微元法，在没有满足微元法使用条件的情况下使用了微元法。
这个公式认为近似量为 $2\pi f(x)\Delta x$，而不是 $2\pi f(x) \Delta s$。我们来计算一下，看看 $2\pi f(x)\Delta x$是否满足“保证实际量和近似量误差为高阶无穷小”。
$$\Delta E = \Delta S_r - 2\pi f(x) \Delta x\\\in [2\pi(f_{min}\Delta s-f(x)\Delta x), 2\pi(f_{max}\Delta s-f(x)\Delta x)]\\=2\pi[f_{min}\Delta s-f(x)\Delta x,f_{max}\Delta s - f(x)\Delta x]\\=2\pi[f_{min}\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}\Delta x-f(x)\Delta x, f_{max}\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}\Delta -f(x)\Delta x]\\=2\pi\Delta x[\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}f_{min}-f(x),\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}f_{max}-f(x))]$$
因为y=f(x)连续，所以当 $\Delta x \to 0$, $f_{min}-f(x),f_{max}-f(x) \to 0$，有因为 $\sqrt {1+{f'(x)}^{2}} \ge 1$，当且仅当 ${f'(x)}^{2}=0$(即该点导数为0，即水平状态)时，取值为1。所以 $$\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}f_{min}-f(x)\\=(\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}-1)f_{min}+(f_{min}-f(x))$$
当 $\Delta x \to 0$时， $$\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}f_{min}-f(x) \to (\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}-1)f_{min}\ge 0$$
对 $f_{max}$同理。
所以
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta E}{\Delta x} \in \\2\pi[(\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}-1)f_{min}，(\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}-1)f_{max}]$$ ，只有当 ${f'(x)}^{2}=0$时， $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta E}{\Delta x}=0$$
即，不能保证当 $\Delta x\to 0$时， $\Delta E$是 $o(\Delta x)$。所以不满足微元法的使用条件。所以相应的表面积公式是不合理的。

补充理解$\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}$

$f'(x)=tan\theta$
$\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}=\sqrt{1+{tan}^{2}\theta}=\sqrt{\frac{{cos}^{2}\theta + {sin}^{2}\theta}{{cos}^{2}\theta}}=\frac {1}{cos\theta}$

导数三角形中，$ds = \frac {dx}{cos\theta}=\sqrt{1+{f'(x)}^{2}}dx$