#网络流，最大流#洛谷 2765 魔术球问题

题目

假设有$n$根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，…的球。
（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。
（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。
求$n$根柱子上最多能放多少个球

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分析

首先答案比较简单，打表会发现$+2+4+4+6+6+8+8+……$
$(n\times(n+2)+(n\mod2=1)-2)\times2$
问题是怎样求方案，跑最大流，记录每次的深搜过程。

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代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
struct node{int y,w,next;}e[50001];
int n,ans,s,t,k=1,ls[3201],dis[3201],nex[1571]; bool v[1571];
void add(int x,int y,int w){
    e[++k]=(node){y,w,ls[x]}; ls[x]=k;
    e[++k]=(node){x,0,ls[y]}; ls[y]=k;
}
bool bfs(int s){
    for (int i=1;i<=t;i++) dis[i]=0;
    queue<int>q; q.push(s); dis[s]=1;
    while (q.size()){
        int x=q.front(); q.pop();
        for (int i=ls[x];i;i=e[i].next)
        if (e[i].w>0&&!dis[e[i].y]){
            dis[e[i].y]=dis[x]+1;
            if (e[i].y==t) return 1;
            q.push(e[i].y);
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int x,int now){
    if (x==t||!now) return now;
    int rest=0,f;
    for (int i=ls[x];i;i=e[i].next)
    if (e[i].w>0&&dis[e[i].y]==dis[x]+1){
        rest+=(f=dinic(e[i].y,min(now-rest,e[i].w)));
        e[i].w-=f; e[i^1].w+=f; if(e[i].y!=t) nex[x>>1]=e[i].y>>1;//记录存下的过程
        if (now==rest) return rest;
    }
    if (!rest) dis[x]=0;
    return rest;
}
int main(){
    scanf("%d",&n); printf("%d\n",ans=(n*(n+2)+(n&1)-2)/2); t=(s=(ans<<1)+3)+1;
    for (int i=1;i<=ans;i++){
        add(s,i<<1,1); add(i<<1|1,t,1);
        for(int j=sqrt(i)+1;j*j<2*i;j++) add((j*j-i)<<1,i<<1|1,1);//完全平方数
        while (bfs(s)) dinic(s,4000);
    }
    for (int i=0;i<n;i++){
        int x=(i*(i+2)+(i&1)-2)/2+1;
        if (!i) x=1;
        if (v[x]) continue;
        for (int j=x;j;j=nex[j]) v[j]=1,printf("%d ",j);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}