P2765 魔术球问题【最小路径覆盖】

«问题描述：
假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，…的球。
（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。
（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可放11 个球。
«编程任务：
对于给定的n，计算在n根柱子上最多能放多少个球。
输入格式：
第1 行有1个正整数n，表示柱子数。
输出格式：
程序运行结束时，将n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出。文件的第一行是球数。接下来的n行，每行是一根柱子上的球的编号。
输入样例#1：
4
输出样例#1：
11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11
说明
4<=n<=55

思路：
之前做过一个给柱子让输出需要多少点的题，找规律过的，这道题用到了： m = (n + 1) * n / 2 + (n - 1) / 2;
现在问题转化为给你点数和柱子让你构造，图的构建规则给你了，所用的最多的点给你了，可以抽象成给你构造一个图和最小路径覆盖，让你打印最小路径覆盖的每一条路径。问题转化之后，就简单了，就按照最小路径覆盖处理即可。
拆点，构造二分图，网络流找最大匹配，残余网络中用两个并查集寻找路径。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
typedef long long LL;
using namespace std;

const int MAXN = 3200 + 50;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int head[MAXN], dist[MAXN], vis[MAXN];
int cur[MAXN], in[MAXN << 1];
int n, m, pre[MAXN << 1];
int top = 0;

struct Edge {
    int to, cap, flow, next;
}edge[MAXN * 20];

void init() {
    top = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    memset(in, 0, sizeof(in));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
}

void addedge(int a, int b, int c) {
    Edge E1 = {b, c, 0, head[a]};
    edge[top] = E1;
    head[a] = top++;
    Edge E2 = {a, 0, 0, head[b]};
    edge[top] = E2;
    head[b] = top++;
}

bool BFS(int st, int ed) {
    memset(dist, -1, sizeof(dist));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue<int> que;
    que.push(st);
    vis[st] = 1;
    dist[st] = 0;
    while(!que.empty()) {
        int u = que.front();
        que.pop();
        for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
            Edge E = edge[i];
            if(!vis[E.to] && E.cap > E.flow) {
                dist[E.to] = dist[u] + 1;
                vis[E.to] = 1;
                if(E.to == ed) return true;
                que.push(E.to);
            }
        }
    }
    return false;
}

int DFS(int x, int a, int ed) {
    if(x == ed || a == 0) return a;
    int flow = 0, f;
    for(int& i = cur[x]; i != -1; i = edge[i].next) {
        Edge& E = edge[i];
        if(dist[E.to] == dist[x] + 1 && (f = DFS(E.to, min(a, E.cap - E.flow), ed)) > 0) {
            E.flow += f;
            edge[i^1].flow -= f;
            flow += f;
            a -= f;
            if(a == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}

int Maxflow(int st, int ed) {
    int flow = 0;
    while(BFS(st, ed)) {
        memcpy(cur, head, sizeof(head));
        flow += DFS(st, INF, ed);
    }
    return flow;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d", &n);
    m = (n + 1) * n / 2 + (n - 1) / 2; //关键得一步
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        addedge(0, i, 1);
        addedge(i + m, m + m + 1, 1);
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        for(int j = i + 1; j <= m; ++j) {
            int cnt = (int)ceil(sqrt(i + j)) * (int)ceil(sqrt(i + j));
            if(cnt == i + j) addedge(i, j + m, 1);
        }
    }
    int ans = Maxflow(0, m + m + 1);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        for(int j = head[i]; ~j; j = edge[j].next) {
            if(edge[j].flow && edge[j].to) {
                pre[edge[j].to - m] = i;
                in[i] = edge[j].to - m;
                //printf("#  %d %d\n", i, edge[j].to);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", m);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        if(pre[i] < 0) {
            int x = i;
            printf("%d", x);
            while(in[x]) {
                printf(" %d", in[x]);
                x = in[x];
            }
            puts("");
        }
    }
    return 0;
}