NOI 1999 POJ 1191 棋盘分割二维平面上的区间DP

title

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差 $\sigma =\sqrt {\dfrac {\Sigma ^{n}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) ^{2}}{n }}$ ，其中平均值 $\overline {x}=\dfrac {\Sigma ^{n}_{i=1}x_{i}}{n}$ ，xi为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出O’的最小值。

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

Output

仅一个数，为O’（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source

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Noi 99

analysis

NOI1999的dp都好厉害呀= =
一定要认真读题！
先看这个均方差的式子，可以进行化简：
$\sigma =\sqrt {\dfrac {\sum ^{n}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) ^{2}}{n }}$
$\sigma^{2} =\dfrac {\sum ^{n}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) ^{2}}{n }$
$=\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\left( x^{2}_{i}-2x_{i}\overline {x}+\overline {x}^{2}\right)$
$=\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x^{2}_{i}-\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}2x_{i}\overline {x}+\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\overline {x}^{2}$
$=\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x^{2}_{i}-2\overline {x}\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x_{i}+\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\overline {x}^{2}$
$=\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x^{2}_{i}-\overline {x}^{2}$
显然 $\dfrac {1}{n}$ 和 $\overline {x}^{2}$ 都是定值，那么我们的任务是求 $\sum ^{n}_{i=1}x^{2}_{i}$ 的最小值。

设 $f[i][x1][y1][x2][y2]$ 表示切第i刀，剩余的矩形左上角和右下角的坐标是 $(x1,y1)$ 和 $(x2,y2)$ ，除了剩余部分其它部分的 $xi$ 平方和的最小值。那么 $f(i)$ 可以向 $f(i+1)$ 转移，只需要暴力枚举第 $i+1$ 刀从哪里切了一刀即可。
矩阵前缀和搞的时候细节比较多，一定要细心。

wrong reason

在状态转移时，我竟然把 $f[i][x1][y1][x2][y2]$ 写成了 $f[i][x1][x2][y1][y2]$ ，竟然还能过掉两个样例。。。。。。。。。。。抵制手残！！！！！！

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e9+7;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
int a[10][10],w[10][10];
double f[20][10][10][10][10];
double ans,sum;
inline double add(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	double ww=w[x2][y2]-w[x1-1][y2]-w[x2][y1-1]+w[x1-1][y1-1]-sum;
	return ww*ww;
}
int main()
{
	int n;read(n);
	sum=0;
	for (int i=1; i<=8; ++i)
		for (int j=1; j<=8; ++j)
			read(a[i][j]),sum+=a[i][j];
	sum=sum/n;
	for (int i=1; i<=8; ++i)
		for (int j=1; j<=8; ++j)
			w[i][j]=w[i-1][j]+w[i][j-1]-w[i-1][j-1]+a[i][j];
	for (int i=0; i<=n; ++i)
		for (int x1=1; x1<=8; ++x1)
			for (int y1=1; y1<=8; ++y1)
				for (int x2=x1; x2<=8; ++x2)
					for (int y2=y1; y2<=8; ++y2)
						f[i][x1][y1][x2][y2]=inf;
	f[0][1][1][8][8]=0;
	for (int i=1; i<n; ++i)
		for (int x1=1; x1<=8; ++x1)
			for (int y1=1; y1<=8; ++y1)
				for (int x2=x1; x2<=8; ++x2)
					for (int y2=y1; y2<=8; ++y2)
						for (int j=1; j<=8; ++j)
						{
							if (x1-j>0)
								f[i][x1][y1][x2][y2]=min(f[i-1][x1-j][y1][x2][y2]+add(x1-j,y1,x1-1,y2),f[i][x1][y1][x2][y2]);
							if (y1-j>0)
								f[i][x1][y1][x2][y2]=min(f[i-1][x1][y1-j][x2][y2]+add(x1,y1-j,x2,y1-1),f[i][x1][y1][x2][y2]);
							if (x2+j<=8)
								f[i][x1][y1][x2][y2]=min(f[i-1][x1][y1][x2+j][y2]+add(x2+1,y1,x2+j,y2),f[i][x1][y1][x2][y2]);
							if (y2+j<=8)
								f[i][x1][y1][x2][y2]=min(f[i-1][x1][y1][x2][y2+j]+add(x1,y2+1,x2,y2+j),f[i][x1][y1][x2][y2]);
						}
	ans=inf;
	for (int x1=1; x1<=8; ++x1)
		for (int y1=1; y1<=8; ++y1)
			for (int x2=x1; x2<=8; ++x2)
				for (int y2=y1; y2<=8; ++y2)
					if (f[n-1][x1][y1][x2][y2]+add(x1,y1,x2,y2)<ans)
						ans=f[n-1][x1][y1][x2][y2]+add(x1,y1,x2,y2);
	ans=ans/n;
	ans=sqrt(ans);
	printf("%.3f\n",ans);
	return 0;
}