【纪中集训2019.3.26】获取名额

描述

描述：

有\(n\)场省选选拔赛，每场的前\(a_i\)名可以获得省选资格；

假设\(Moorhsum\)只参加第\([l,r]\)场比赛，且每一场排名在\([1,x]\)随机；

求他获得省选资格的概率；

范围：

$1 \le n , q \le 600000  ,  1 \le x \le 10^9   ,   1 \le l \le r \le n $;

数据保证对于任意\(i\)，\(a_i \lt x\);

当你的答案和标准答案的误差不超过\(10^{-6}\)是被认为是正确的；

\(512MB\);

题解

• 只需要统计$ \Pi_{i=l}^{r} (1-\frac{a_i}{x})$;

• $= exp(\sum_{i=l}^{r}  ln(1-\frac{a_i}{x})) $;

• 由\(\frac{a_i}{x} \lt 1\)所以里面可以直接泰勒展开：

• $ = - \sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{a_i^j}{j  x^j}  =  -\sum_{i=j}^{\infty}\frac{1}{ix^i} \sum_{j=l}^{r} a_j^i $;

• 貌似只要\(\infty\)取\(50\)左右，预处理$\sum_{i=l}^{r} a_j^i $就可以了；

• 实测一下会发现范围和精度有很大问题；

• 范围问题直接考虑将\(x=/max(a_i),a_i/=max(a_i)\)就不会爆\(double\)了；

• 当\(a_i/x\)较大时，\(ln\)里面的东西会比较接近\(0\)，很难保证精度；

• 为\(a_i/x\)设置一个\(lim\)，当\(a_i/x>lim\)时直接算，再递归左右区间；

• \(lim\)取\(0.5\)是可以过的；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ld double
  #define il inline
  using namespace std;
  const int N=600010;
  int n,m,lg[N],f[N][21],bin[21];
  ld sum[N][51],a[N],X,tmp;
  il char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  il int rd(){
    int x=0;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9')c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
    return x;
  }
  il int Max(int x,int y){return a[x]>a[y]?x:y;}
  il int ask(int x,int y){
    int t=lg[y-x+1];
    return Max(f[x][t],f[y-bin[t]+1][t]);
  }
  il ld cal(int l,int r){
    ld re=0,t=1;
    for(int i=1;i<=50;++i){
        t*=X;re-=(sum[r][i]-sum[l-1][i])/(t*i);
    }
    return exp(re);
  }
  void solve(int l,int r){
    int mid=ask(l,r);
    if(a[mid]/X<0.5){tmp*=cal(l,r);return;}
    tmp*=1-a[mid]/X;
    if(l<mid)solve(l,mid-1);
    if(mid<r)solve(mid+1,r);
  } 
  int main(){
    freopen("orz.in","r",stdin);
    freopen("orz.out","w",stdout);
    n=rd();m=rd();ld mx=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=rd(),mx=max(a[i],mx);
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]/=mx;
    for(int i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
    lg[0]=-1;for(int i=1;i<=n;++i)f[i][0]=i,lg[i]=lg[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=20;++i)
    for(int j=1;j+bin[i]-1<=n;++j){
        f[j][i]=Max(f[j][i-1],f[j+bin[i-1]][i-1]);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ld t=1;
        for(int j=1;j<=50;++j){
            t*=a[i];
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+t;
        }
    }
    for(int i=1,l,r;i<=m;++i){
        l=rd();r=rd();X=rd()/mx;
        tmp=1;solve(l,r);
        ld ans=1-tmp;
        printf("%.10lf\n",ans); 
    }
    return 0;
  }