[51nod异或约数和] 整除分块+打表找规律

• emm。首先我想到一个 $n*log_2 n$的算法，就是对于每一个数，枚举它的倍数，然后筛一下。35分get。
• 诶，在计算总答案的公式中，一个数被异或的时候，肯定是被作为约数的时候。那么一个数被异或的次数肯定是 $\frac{n}{i}$。如果为奇数，就把它异或上，不然就不管。 $O(n)$算法，45分美滋滋。
• 嗯？ $\frac{n}{i}？$整除分块搞一下是不是就 $\sqrt n$了啊。哦，但是它好像涉及到一个求连续区间的异或和问题，我们需要 $O(1)$。转化一下， $l到r$的区间异或和等于 $1$到 $l-1$的异或和^ $1$到 $r$的异或和。从1到n的异或和怎么 $O(1)$求？打表找规律！
• 设 $f(n)$为1到n的异或和，则：
  $if(n~ mod~4=1),~f(n)=1$
  $if(n~mod~4=2),~f(n)=n+1$
  $if(n~mod~4=3),~f(n)=0$
  $if(n~mod~4=0),~f(n)=n$
• 盗一下某人的证明：
  证明：

我们先来考虑 $f(2^k,2^{k+1}-1)$

从 $2^k$到 $2^{k+1}-1$这 $2^k$个数，最高位的一个数为 $2^k$；

若有 $k>=1$,则 $2^k$为偶数，将这 $2^k$个数的最高位去掉，异或和不变

因此 $f(2^k,2^{k+1}-1)=f(2^k-2^k,2^{k+1}-2^k-1)=f(0,2^{k}-1)$

因而存在 $f(0,2^{k+1}-1)=f(0,2^k-1) xor f(2^k,2^{k+1}-1)=0$

即 $f(0,2^k-1)=0$

对于 $，f(0,n)，n\geq4$设n二进制表示的最高位1在第k位k>=2;

$f(0,n)=f(0,2^k-1) xor f(2^k,n)=f(2^k,n)$

对于 $2^k$到 $n$这 $n-2^k+1$个数，最高位共有 $m=n-2^k+1$个1，去除最高位的1

当n为奇数时，m为偶数此时有 $f(0,n)=f(2^k,n)=f(0,n-2^k)|2^k$

由于 $n-2^k$与n奇偶性相同，递推上面的公式可得 $f(0,n)=f(0,n-2^k-2^{k-1}-2^{k-2}\cdots -2^2)=f(0,n\%4)$

当 $n\%4=1$时 $f(0,n)=f(0,1)=1$

当 $n\%4=3$时 $f(0,n)=f(0,3)=0$

当n为偶数时，m为奇数，因而 $f(0,n)=f(2^k,n)=f(0,n-2^k)xor2^k$

也相当于最高位不变，递推公式可得

$f(0,n)=f(0,n\%4)xor 2^kxor$ $n[k]*2^k-1 xor\cdots$ $n[2]*2^2$

n[k]表示n的二进制表示的第k位

显然当n为偶数时 $f(0,n)$的二进制从最高位到第3位和n的二进制表示相同

此时我们只需要判断第二位

当 $n\%4=0$时 $f(0,n)=n$

当 $n\%4=2$时 $f(0,n)=n+1$

综上所述：

$f(0,n)=f(1,n)\begin{cases} n\ \ \ \ \ \ \ \quad n\%4=0\\ 1\ \ \ \ \ \ \ \quad n\%4=1\\n+1 \quad n\%4=2\\0\ \ \ \ \ \ \ \quad n\%4=3\\ \end{cases}$