牛客网 balls （组合计数，打表，得到规律）

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64bit IO Format: %lld

题目描述

有一个盒子，里面有一个黑球和一个白球。每次随机取出盒子中的一个球，并将两个与取出球同色的球放进盒子（就是随机一种颜色将其个数+1）。

求n次取球后，盒子中白色球数目的期望。

输入描述:

输入一个整数n，表示取球次数。

输出描述:

输出一个实数，表示n次取球后白球数目的期望。答案保留7位小数。

示例1

输入

复制

2

输出

复制

2.0000000

说明

若第一次取出白球：

放入两个白球，则现在有一个黑球两个白球，概率为1/2。

若第二次取出白球，则现在有一个黑球三个白球，概率为1/2*2/3=1/3，期望个数为1/3*3=1；

若第二次取出黑球，则现在有两个黑球两个白球，概率为1/2*1/3=1/6，期望个数为1/6*2=1/3。

若第一次取出黑球：

放入两个黑球，则现在有两个黑球一个白球，概率为1/2。

若第二次取出黑球，则现在有三个黑球一个白球，概率为1/2*2/3=1/3，期望个数为1/3*1=1/3；

若第二次取出白球，则现在有两个黑球两个白球，概率为1/2*1/3=1/6，期望个数为1/6*2=1/3。

所以白球期望数目为2个。

备注:

0≤n≤106。

题意：题目意思很简单，每次从盒子里随机选取一种颜色的球，然后加1，经过n次操作后球白色球数目的期望。

题解：我先是按照普通方法找到解决方案，涉及排列组合计数，打表找出规律。

打表代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI 3.1415926535897932384
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
double C(int n,int m)
{
	if(m>n)
		return 0;
	if(m==0)
		return 1;
	double t=1;
	int cnt=m;
	for(int i=n;i>=n-m+1;i--)
	{
		t*=i*1.0/cnt;
		cnt--;	
	} 
	return t;
}
double cal(int num)
{
	double ans=1.0;
	for(int i=n+1;i>=n+1-num+1;i--)
	{
		ans*=1.0*(n+2-i)/i;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	//cin>>n;
	double ans=0;
	for(int z=0;z<=20;z++)
	{
		n=z;
		ans=0;	
		for(int i=1;i<=n+1;i++)
		{
			if(i<(n+1)/2)
				ans+=1.0*i*(1.0/(n+2-i))*C(n,i-1)*cal(i-1);
			else
			{
				ans+=1.0*i*(1.0/(i))*C(n,n-i+1)*cal(n-i+1);
			}
		}
		printf("%.7lf\n",ans);
	}
	return 0;
}

最后得出一个式子 ans=0.5*(n+2);