题解

%%% $Factorio$ 神犇！！！

这里介绍一种奇妙的做法，不难理解，代码也很好写。
其实并不需要考虑每种情况下 $s,t$ 具体是多少，只需要根据当前情况需要再决定，可以证明以下情况都是存在 $s,t$ 使之成立的：
这里设 $s<t$ ，初始有 $A$ 个红球， $B$ 个蓝球可以把取球分成三个部分的动作：

$t$ 位置未变空
$t$ 位置变空， $s$ 位置未变空
$s,t$ 均变空，此时只能从 $1$ 位置取球

显然第 $3$ 部分取球的序列是由前 $2$ 部分决定且唯一的，所以不再考虑。
蓝球全部连续出现的情况太过特殊，在这里单独列出连续出现的情况数为 $A+1$ 。接下来讨论到的情况都是蓝球存在间隔出现的情况：
进一步把 $1,2$ 过程细分：
1.1. 取出一些红球
1.2. 取出第一个蓝球，取出总共 $B$ 个球，其中含有 $i$ 个蓝球。
2.1. 取出一些红球
2.2. 取出第一个蓝球，取出总共 $B-i$ 个球，其中含有 $j$ 个蓝球。
这样便枚举到了所有可能的情况，想象即使可能 $t$ 的取值并不支持在1.2.取出 $B$ 个球，但之后的操作也会出现同样的效果，把 $t$ 前移是等效的。
这个不好证明，感性理解，我认真想了还是不会啊TAT。
所以统计答案只需要枚举 $i,j$ ，再利用组合计数计算出当前 $i,j$ 下的方案数：
首先需要满足 $B-i+B-i-j\leq a$ ，方案数： $\binom{B-1}{i-1}\binom{B-i-1}{j-1}\binom{A-(2B-2i-j)+2}{2}$
这里用到隔板法， $\binom{B-1}{i-1}$ 指把 $B$ 个球放进 $i$ 个箱子，每个箱子至少放一个的方案数，这里具体指1.2.中有 $i$ 个蓝球，把 $B-i$ 个球任意放进 $i$ 个蓝球之后的方案。同理可得， $\binom {B-i-1}{j-1}$ 表示2.2.的情况。
$\binom{A-(2B-2i-j)+2}{2}$ 则表示除掉1.2. 2.2.两次放入的红球外，剩余的红球分别在1.1. 2.1. 3.任意个数(某次可以为空)全部放入的方案数。
组合数预处理一下即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod=1e9+7,N=2050;
int a,b,c[N][N],ans;

inline int ad(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}

int main(){
    int i,j;
    c[0][0]=1;
    for(i=1;i<N;++i){
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(j=1;j<i;++j) c[i][j]=ad(c[i-1][j-1],c[i-1][j]);
    }
    scanf("%d%d",&a,&b);
    ans=a+1;
    for(i=max(1,b-a);i<b;++i)
        for(j=max(1,2*(b-i)-a);j<=b-i;++j)
            ans=ad(ans,mul(mul(c[b-1][i-1],c[b-i-1][j-1]),c[a-2*(b-i)+j+2][2]));    
    printf("%d\n",ans);
}

【AtCoder】CODE FESTIVAL 2017 qual B E - Popping Balls-组合计数

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