Pollard-rho算法学习笔记

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目录

问题的提出

生日悖论

利用生日悖论来因数分解

Pollard-rho算法

例题完成进度

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问题的提出

如何快速地找到一个自然数N的两个因数(除自己和1以外)？

首先想到的肯定是传统的试除法

int main(){
    int N;
    cin>>N;
    if(N%2==0){
        cout<<2<<" "<<N/2<<endl;
        return 0;
    }
    for(int i=3;i<=sqrt(N);i+=2){
//这里是一个优化了的试除法，可以直接排除偶数
        if(N%i==0){
            cout<<i<<" "<<N/i<<endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<<"No!"<<endl;
    return 0;
}

这里还有一个比较不走心的算法叫I am feeling lucky algorithm

这种算法的思想就是随机生成一个[2,N]的数，若恰好生成了N的因数，那么就输出，否则就停止.

那么这种算法成功(也就是恰好生成N的因数)的概率是多少呢？

我们来试想一下最坏的情况，就是在[2,N-1]的范围内，N恰好只有两个因数。

那么我们正好找到这两个因数其中之一的概率就是$\frac{2}{N-1}$。

如果N比较大，约为10¹⁰时，成功的概率约为$\frac{1}{5000000000}$，这比彩票中奖的概率还要小QAQ

 这样当然是不行的，如果要确保找到一个因数，那么我们需要用不同的随机数判断将近N次，这样会比试除法还要暴力。

不过，虽然这个算法显然是不行的，但是它给我们提供了一个思路——随机。

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生日悖论

如果你要从[1,1000]中随机取一个数，那么显然取得一个指定的数(假设为51)的概率为$\frac{1}{1000}$

把这个问题修改一下，如果我要从这1000个数中任意取两个数，使得这两个数的差的绝对值为51的概率又是多少呢？

因为会取绝对值，所以我们可以完全随机选择第一个数，也就是说，选择第一个数符合条件的概率是100%

又根据对称性可知，选中第二个数符合条件的情况有两种，概率为$\frac{2}{999}$

于是最后的总概率就约为$\frac{1}{500}$

如果我们再修改一下这个问题，从1000个数中任选出k=3,4,5……个数，那么可以发现，成功的概率是单调递增的

我们再来看看到底什么是生日悖论

就是随机选取一名学生，他的生日恰好为6月1日的概率为$\frac{1}{365}$

那么这相当于我们在[1,365]中选取任意一个数为指定的

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利用生日悖论来因数分解

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Pollard-rho算法

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例题

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