/* * 大整数分解到现在都是世界级的难题,但却是一个重要的研究方向,大整数在公共密钥的研究上有着重要的作用 * Pollard Rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b.而待分解的大整数为n,计算p=gcd(abs(a-b),n),直到p不为1或者a,b出现循环为止. * 然后再判断是否为n,如果p==n||p==1,那么返回n时一个质数 * 否则p就是n的一个因子 * 那么我们又可以递归地计算Pollard(p)和Pollard(n/p). * 最后就可以推出n的所有质因子 * * 具体操作中我们常常使用函数 x[i+1]=(x[i]*x[i]+c)%n 来逐步迭代计算a和b的值,通常c取1,即b=a*a+1,在下一次计算中,将b的值赋给a,再次使用上式来计算新的b的值,当a,b出现循环时即可退出判断.(初值自己确定) * 但是这样的话判断循环比较麻烦,这里给出Floyd(没错又是他)发明的一个聪明而又有趣的算法: * 假设我们在一个很长很长的圆形轨道上面行走,如何知道自己已经走了一圈了呢? * 可以让两个人A和B按照 vb = va<<1 从同一起点开始向前走,当B第一次赶上A时,我们就知道B已经走了两圈 * 所以我们可以把x当作B,把y当作A,然后进行循环测试 * * 对于Pollard Rho算法,它可以在O(sqrt(p))的时间复杂度内找到n的一个小因子p,可见效率还是可以的 * 但是对于一个因子很少或者因子值很大的大整数n来说,这个算法的复杂度依然不是很好 */ //以下给出Pollard Rho和Miller-Rabin素数测试配合使用的整数分解算法 #include <algorithm> #include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> typedef long long ll; const int counts = 10,N = 5001; ll tot,cnt,fac[N],num[N]; ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;} ll qpow(ll a,ll x,ll p) { ll ret=1; for(;x;x>>=1,a=a*a%p) if(x&1) ret=ret*a%p; return ret; } ll multi(ll a,ll b,ll p) { ll ans=0; a%=p; for(;b;b>>=1,a=(a<<1)%p) if(b&1) ans=(ans+a)%p; return ans; } bool Miller_Rabin(ll n) { if(n==2)return true; if(n<2 || !(n&1))return false; ll m=n-1,a,x,y;int k=0; while(!(m&1))++k,m>>=1; for(int i=0;i<counts;++i) { a=rand()%(n-1)+1; x=qpow(a,m,n); y=0; for(int j=0;j<k;++j) { y=multi(x,x,n); if(y==1 && x!=-1 && x!=n-1)return false; x=y; } if(y != -1)return false; } return true; } ll Pollard_Rho(ll n,ll c) { ll i=1,k=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x,d; while("fighting") { ++i; x=(multi(x,x,n)+c)%n; d=gcd((y-x+n),n); if(1<d && d<n)return d; if(y == x)return n; if(i == k)y=x,k<<=1; } } void find(ll n,int c) { if(n == 1)return ; if(Miller_Rabin(n)) { fac[tot++]=n; return ; } ll p=n,k=c; while(p>=n)p=Pollard_Rho(p,c--); find(p,k); find(n/p,k); } int main() { ll n; while(std::cin>>n) { tot=0; find(n,120); std::sort(fac,fac+tot); num[0]=1; int k=1; for(int i=1;i<tot;++i) { if(fac[i] == fac[i-1]) ++num[k-1]; else { num[k]=1; fac[k++]=fac[i]; } } cnt=k; for(int i=0;i<cnt;++i) std::cout<<fac[i]<<"^"<<num[i]<<" "; std::cout<<std::endl; } return 0; }