个人学习用——欧拉函数

概念

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

（初学者一定注意：此处的欧拉函数与图论中的欧拉回路不同）

通式

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1) = 1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12 = 223 那么 φ(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3)=4 )

若 n = p^k ( p为 质数 )，则 φ(n) = p^k-p(k-1) = (p-1)p^(k-1)，（ 除 p 的倍数外，其他数均为 p 的互质数 ）。

若n = p（ p 为质数），则 φ(n) = p-p^(1-1) = p-1。

性质

(1) p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ§=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=pk-p^(k-1)=(p-1)p(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

模板

• 直接求小于或等于n,且与n互质的个数:

int  eular(int n)
{
    int i,ret=n;
    for(i=2; i<=sqrt(n); i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) ret=ret/n*(n-1);
    return ret;
}

• 筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数：

#define size 1000001
int euler[size];
void Init()
{
    euler[1]=1;
    for(int i=2; i<size; i++)
        if(!euler[i])
            for(int j=i; j<size; j+=i)
            {
                if(!euler[j])
                    euler[j]=j;
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
            }
}`

转载自https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7307033.html