1、基本介绍
过拟合：指为了得到一致性假设而使假设变得过度严格。在模型参数拟合过程中，由于训练数据包含抽样误差，复杂的模型将抽样误差也考虑在内，将抽样误差也进行了很好的拟合。
当训练数据不够多时，者over-training时，经常会导致over-fitting（过拟合），如下图所示：
- 欠拟合：指模型没有很好地捕捉到数据特征，不能很好地拟合数据。
如上左图，由于是一次函数，没有很好的拟合数据；右图是二次函数，能够较好地拟合所有数据。究其原因，两者之间的差别在于有没有二次项系数，即参数多少的问题。
2、原因
过拟合的根本原因：特征维度过多，模型假设过于复杂，参数过多，训练数据过少，噪声过多，导致拟合的函数完美的预测训练集，但对新数据的测试集预测结果差。 过度的拟合了训练数据，而没有考虑到泛化能力。因此需要减少特征维度，或者正则化降低参数值。
欠拟合的根本原因：特征维度过少，模型过于简单，导致拟合的函数无法满足训练集，误差较大； 因此需要增加特征维度，增加训练数据。
3、解决方法
避免过拟合的方法：
交叉验证：即重复使用数据，把得到的样本数据进行切分，组合为不同的训练集和测试集，用训练集训练模型，用测试集来评估模型预测的好坏。由于在此基础上可以得到多组不同的训练集和测试集，某次训练集中的某样本在下次可能成为测试集中的样本，即所谓“交叉”。当数据量不是很充足的时候，会使用交叉验证。
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在训练过程中，我们通经常使用它来确定一些超參数（比方,依据validation data上的accuracy来确定early stopping的epoch大小、依据validation data确定learning rate等等。
正则化：(L1和L2)通过改动代价函数实现。
数据增强：增加训练数据样本。
Dropout：通过改动神经网络本身来实现。例如，训练前，随机删除一部分隐层单元，保持输入输出层不变，依照BP算法更新上图神经网络中的权值。
early stopping：即提前终止。Early stopping是一种以迭代次数截断的方法来防止过拟合。
Bagging用不同的模型拟合不同部分的训练集；Boosting只使用简单的神经网络；
数据清洗：将错误的label纠正或者删除错误的数据。
为什么说数据量大了以后，求解\(min Cost\)函数时候，模型为了求解到最小值过程中，需要兼顾真实数据拟合和随机误差拟合，所有样本的真实分布是相同的（都是猴子），而随机误差会在一定程度上抵消（猴子的肤色——黄色）。——训练数据中全是黄色猴子，测试数据中一旦是白色猴子就检测不出来。
欠拟合的解决方法：
添加其他特征项：添加特征的重要手段是“组合”，“泛化”，“相关性”；另外，特征添加的首选项是“上下文特征”，“平台特征”。
添加多项式特征：比较常用，例如，在线性模型中通过添加二次项或者三次项使模型的泛化能力更强。
减少正则化参数：特征化的目的是用来防止过拟合的。
4、正则化
正则化是模型选择的典型方法，是结构风险最小化策略的实现。一般是在经验风险上加上一个正则化项或罚项，正则化一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化值就越大。
正则化项的函数形式为：
\[min_{f \in F} \quad \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_{i}, f_{x_{i}}) + \lambda J(f)\]
其中第一项是经验风险，第二项是正则化项，\(\lambda>0\)为调整两者之间关系的系数。
正则化项\(\lambda J(f)\)可以取不同的形式。回归问题中，损失函数\(L(y_{i}, f_{x_{i}}\)是平方损失，正则化项是参数向量的\(L_{2}\)范数。
正则化的优点是：
能保留所有的特征，但是降低参数\(\omega_{j}\)的量/值。
正则化的好处是但特征很多时，每一个特征都会对预测\(f(x_{i})\)贡献一份合适的力量。
4.2 L2正则化
- L2正则化是指正则化项为参数向量的\(L_{2}\)范数。相应的经验风险（损失函数）为：
\[L(\omega) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (f(x_{i}) - y_{i})^{2} + \frac{\lambda}{2} ||\omega||^{2}\]
- 2-范数：\(||x||_{2} = \sqrt {\sum_{i=1}^{N} |x_{i}|^{2}}\)，欧几里得范数，即向量元素绝对值的平方和再开方。常用于计算向量长度。
理解L2、L1正则化可参考4
4.1 L1正则化
- L1正则化是指正则化项为参数向量的\(L_{1}\)范数。相应的经验风险（损失函数）为：
\[L(\omega) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (f(x_{i}) - y_{i})^{2} + \frac{\lambda}{2} ||\omega||^{1}\]
- 1-范数：\(||x||_{1} = \sum_{i=1}^{N} |x_{i}|\)，即元素绝对值之和。
参考：