【动态规划·习题】苹果二叉树：二维树形DP

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Problem

题目描述

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）。这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。 我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树：

2 5

\ /

3 4

\ /

1

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。 给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

输入格式

第1行2个数，N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。 N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。 每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。 每根树枝上的苹果不超过30000个。

输出格式

一个数，最多能留住的苹果的数量。

题解

这道题就是一道典型的二维树形DP问题。

设 $f[i][j]$表示在以 $i$为根的子树中，保留了 $j$个枝条所保留的最大苹果。

状态转移方程： $f[x][i]=max(f[y][j]+val(x,y)+f[x][i-j-1]),\ y∈son(i)$

相信状态转移方程十分清楚明白，这里的 $f[x][i-j-1]$显然是先前已经枚举过的其它子树。

我们此时需要求出i和j的取值范围，通过仔细画图可以得知：
$1≤i≤min(size[x]-1,q)$
$0≤j≤min(size[y]-1,i-1)$
注意状态转移方程 $i$和 $j$需要逆序枚举，原理同 $01背包$， $f[x][i-j-1]$是同一棵子树的转移。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define Mp make_pair
using namespace std;
int n,q;
int size[200];
vector< pair<int,int> >a[200];
int f[200][200];
void getsize(int x,int fa)
{
	size[x]=1;
	for (int i=0;i<a[x].size();++i)
	{
		int y=a[x][i].first;
		if (y == fa) continue;
		getsize(y,x);
		size[x]+=size[y];
	}
}
void dp(int x,int fa)
{
	for (int k=0;k<a[x].size();++k)
	{
		int y=a[x][k].first,val=a[x][k].second;
		if (y ==  fa) continue;
		dp(y,x);
		for (int i=min(size[x]-1,q);i>=1;--i)
		    for (int j=min(size[y]-1,i-1);j>=0;--j)
		        f[x][i]=max(f[y][j]+val+f[x][i-j-1],f[x][i]);
	}
}
int main(void)
{
	freopen("APPLE.in","r",stdin);
	freopen("APPLE.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&n,&q);
	for (int i=1,x,y,v;i<n;++i)
	{
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&v);	
		a[x].push_back(Mp(y,v));
		a[y].push_back(Mp(x,v));
	}	
	getsize(1,0);
	dp(1,0);
	printf("%d",f[1][q]);
	return 0;
}