一、定义 --概念部分参考http://www.iteblog.com/archives/148
位图法就是bitmap的缩写。所谓bitmap，就是用每一位来存放某种状态，适用于大规模数据，但数据状态又不是很多的情况。通常是用来判断某个数据存不存在的。在STL中有一个bitset容器，其实就是位图法。
引用bitset介绍：A bitset is a special container class that is designed to store bits (elements with only two possible values: 0 or 1,true or false, ...).The class is very similar to a regular array, but optimizing for space allocation: each element occupies only one bit (which is eight times less than the smallest elemental type in C++: char).Each element (each bit) can be accessed individually: for example, for a given bitset named mybitset, the expression mybitset[3] accesses its fourth bit, just like a regular array accesses its elements.
二、数据结构
内部维护数组 char M [N];
在这个数组里面，可以存储 N * 8个数据，但是最大的数只能是N * 8 - 1。假如，我们要存储的数据范围为0-15，则我们只需要使得N=1，这样就可以把数据存进去。如下图：
数据为【5，1，7，15，0，4，6，10】，则存入这个结构中的情况为
三、相关操作
对于内部数组 char M [8 * 1024]; 这样做，能存 8K*8=64K 个 bit。存放的字节位置和位位置（字节 0~8191 ，位 0~7 ）。
内部实现均采用位操作，比如将第1234个位置1 ，字节序：1234 >> 3 = 154; 位序：0x80 >> (1234 & 0x07) = 2 ，那么 1234 放在 M 的下标 154 字节处，把该字节的 2 号位（ 0~7）置为 1。
1. 置位(设操作第k个位)
M[k >> 3] |= (0x80 >> (k & 0x07));
解释：M[第k个标志位所在的字节(k/8 取整)] |= （第k个标志位在所在字节中的位数(取余)）
2. 复位(设操作第k个位)
M[k >> 3] &= ~(0x80 >> (k & 0x07));
解释：M[第k个标志位所在的字节(k/8 取整)] &= ~（第k个标志位在所在字节中的位数(取余)）
3. 访问(设操作第k个位)
return M[k >> 3] & (0x80 >> (k & 0x07));
解释：M[第k个标志位所在的字节(k/8 取整)] &（第k个标志位在所在字节中的位的值）
4. 扩容
若被访问的M[k]已出界，则需扩容，与vector扩容原理类似，重新分配内存，容量加倍，并将原数据转移至新的空间。
四、位图的应用举例 (大规模数据，整数)
(1) 给40亿个不重复的unsigned int的整数，没排过序的，然后再给一个数，如何快速判断这个数是否在那40亿个数当中。
40亿是个巨大的数量，如果将40亿个int变量完全存储到内存中可不得了，所以最好采用40亿个位(476M空间)来存放这40亿个数据的状态比较好。
首先，遍历这40亿个数字，分别在对应的位图中进行置位。然后对于给出的数，进行按秩查找，判断是否在bitmap中即可。
(2) 使用位图法判断整形数组是否存在重复
遍历数组，以数组元素为秩，分别将bitmap中对应的位置1，并且检查其是否已经为1，若为1，即为重复的元素。
(3) 使用位图法进行整形数组排序
首先遍历数组，得到数组的最大最小值，然后根据这个最大最小值来缩小bitmap的范围。这里需要注意对于int的负数，都要转化为unsigned int来处理，而且取位的时候，数字要减去最小值。
(4) 在2.5亿个整数中找出不重复的整数，注，内存不足以容纳这2.5亿个整数
参考的一个方法是：采用2-Bitmap（每个数分配2bit，00表示不存在，01表示出现一次，10表示多次，11无意义）。其实，这里可以使用两个普通的Bitmap，即第一个Bitmap存储的是整数是否出现，如果再次出现，则在第二个Bitmap中设置即可。这样的话，就可以使用简单的1-Bitmap了。
五、位图实现
实现位图并封装在bitmap类中。
| 操作 | 功能 | 对象 |
| bitmap(int n = 8) | 构造函数，默认容量为8位 | 位图 |
| bitmap(char* file, int n = 8) | 构造函数，从指定文件中读取比特图 | 位图 |
| ~bitmap() | 析构函数，释放位图空间 | 位图 |
| init(int n) | 初始化位图空间 | 位图 |
| set(int k) | 置位第k个标志位 | 位图 |
| clear(int k) | 复位第k个标志位 | 位图 |
| test(int k) | 取出指定字节中的指定位 | 位图 |
| dump(char* file) | 将位图整体导出至指定的文件 | 位图 |
| bits2string(int n) | 将前n位转换为字符串 | 位图 |
| expand(int k) | 扩容 | 位图 |
| print(int n) | 逐位打印以检验位图内容 | 位图 |
| isPrime(int n) | 判断某个数是否为素数 | 自然数 |
(1) bitmap.h
#pragma once
#pragma warning(disable : 4996 4800)
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include "math.h"
class bitmap { //位图bitmap类
private:
char* M; int N; //比特图所存放的空间M[]，容量为N*sizeof(char)*8比特
protected:
void init(int n) //初始化位图空间
{
M = new char[N = (n + 7) / 8]; //申请内存
memset(M, 0, N); //初始化内存块
}
public:
bitmap(int n = 8) { init(n); } //按指定或默认规模创建比特图（为测试暂时选用较小的默认值）
bitmap(char* file, int n = 8) //按指定或默认规模，从指定文件中读取比特图
{
init(n); FILE* fp = fopen(file, "r"); fread(M, sizeof(char), N, fp); fclose(fp);
}
~bitmap() { delete[] M; M = NULL; } //析构时释放比特图空间
void set(int k) //置位第k个标志位
{
expand(k); //拓容
M[k >> 3] |= (0x80 >> (k & 0x07)); //M[第k个标志位所在的字节(k/8 取整)] |= （第k个标志位在所在字节中的位数(取余)）
}
void clear(int k) {
expand(k); //拓容
M[k >> 3] &= ~(0x80 >> (k & 0x07)); //M[第k个标志位所在的字节(k/8 取整)] &= ~（第k个标志位在所在字节中的位数(取余)）
}
bool test(int k) {//取出指定字节中的指定位
expand(k); //拓容
return M[k >> 3] & (0x80 >> (k & 0x07)); //M[第k个标志位所在的字节(k/8 取整)] &（第k个标志位在所在字节中的位的值）
}
void dump(char* file) //将位图整体导出至指定的文件，以便对此后的新位图批量初始化
{
FILE* fp = fopen(file, "w"); fwrite(M, sizeof(char), N, fp); fclose(fp);
}
char* bits2string(int n)
{ //将前n位转换为字符串——
expand(n - 1); //此时可能被访问的最高位为bitmap[n - 1]
char* s = new char[n + 1]; s[n] = '\0'; //字符串所占空间，由上层调用者负责释放
for (int i = 0; i < n; i++) s[i] = test(i) ? '1' : '0';
return s; //返回字符串位置
}
void expand(int k)
{ //若被访问的bitmap[k]已出界，则需扩容
if (k < 8 * N) return; //仍在界内，无需扩容
int oldN = N; char* oldM = M;
init(2 * k); //与向量类似，加倍策略
memcpy_s(M, N, oldM, oldN); delete[] oldM; //原数据转移至新空间
}
void print(int n) //逐位打印以检验位图内容，非必需接口
{
expand(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
printf(test(i) ? "1" : "0");
}
static bool isPrime(int n) { //判断某个数是否为素数
if (n <= 3) {
return n > 1;
}
// 不在6的倍数两侧的一定不是质数
if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) {
return false;
}
int s = (int) sqrt(n);
for (int i = 5; i <= s; i += 6) {
if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
};