位图的引入
1.对于下面的题
- 给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。任给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这40亿个数中。 【腾讯】
2.分析
（1）我们首先可以想到将这40亿个整数先进行排序，然后再进行二分查找；
（2）但是40亿个整数在内存中大约占16G的内存；
（3）我们一般的计算机的内存很难达到16G，也就是说如果没有特殊的方式，我们无法在计算机的内存里存放这么多的数据；
（4）所以对于上面的想法很难实现，我们需要思考其它的方式；
（5）由题目，我们只用知道一个数是否存在这40亿个数，在或者不在可以用1个比特位来表示（0表示不在，1表示在）。所以可以将一个数用一个位来进行表示，这样一个数以前用32位表示，现在就缩短到用一个位来表示，这样的话，对于40亿个整数现在只用500M就可以存下，大大缩短了空间。
（6）这种用位来表示一个数在或是不在的数据结构称为位图，位图利用的是哈希直接定址法的思想。
自己模拟实现一个位图（BitSet）
1.位图的数据结构可以用数组来实现，STL里面有一个容器是vector就是动态增长的数组，所以位图的底层就用一个vector。
class BitSet
{
public:
private:
vector<size_t > _bits;
};2.构造函数
- 构造函数需要为BitSet开空间，并且将里面的数据都清零（也就是将位图的每一位都置0）
- 我们知道vector里面用两个函数可以用来开辟空间，一个是reserve ，一个是resize。（reserve只改变容量不改变size，一般和push_back搭配使用；而resize不仅改变容量，也会改变size），所以这里用resize。
- 如果想要开辟range个位，因为当前位图用vector实现，而vector里面的数据为size_t类型，也就是1个size_t类型可以存放32个位，range个比特位就需要开range/32个size_t的空间，为了防止当range<32时，range/32=0的情形，所以需要多开一个size_t的空间
综上，构造函数如下：
BitSet(size_t range)
{
_bits.resize(range / 32 + 1, 0); //resize开range/32+1的空间，并且将所有的数据初始化为0
}3.Set（将位图的某一位设置为1，也就是将给定的数x对应的位设为1）
- 将某一位设置成1，首先要知道该位 位于位图的哪个位置上（即该位对应的数组的下标）；（因为该数组一个位置对应32个位，所以用该数除32可以算出该位对应数组的下标是哪一个）；
- 然后还要知道该位对应数组那个位置的哪一位上；
- 如果要将某一位设置为1，由逻辑运算符知道，1|x=1（1与任意数按位或都是1）0|x=x（0与任意数按位或都是任意数），则我们可以将该位与1进行按位或，但是又不能影响别的位（即别的位可以或上0）；
- 如果将pos位变成1其它位不变，则将1左移pos位，再或等上数组_bits对应位置上的数。（对应位置：该位所在的数组的下标）。
void Set(size_t x)
{
size_t num = x / 32; //计算x位于_bits的哪个下标处
size_t pos = x % 32; //计算x位于对应下标的哪一位上
_bits[num] |= (1 << pos);
}4.Reset（将位图的某一位设置为0，也就是说将该位对应的数删除）
- 仍然需要先算出该位对应数组的哪个位置；
- 如果要将某一位变为0，则可以将该位 按位与上0，但是其它位不变，所以其它位应与上1；
- 如何将pos位变为0，其它位变为1呢？（可以将1左移pos位，就会使得pos位为1，其它位为0，然后再将左移后的数按位取反，则pos位为0，其它位为1.
void ReSet(size_t x)
{
size_t num = x / 32;
size_t pos = x % 32;
_bits[num] &= ~(1 << pos);
}5.Test（测试某个数是否存在，也就是测试该数对应的位是0还是1）
- 如果该数对应的位为1说明该数存在，为0说明不存在在
- 因为 1&1=1，1&0=0，所以可以将该数对应的位与上1，将其它位与上0，则结果为0说明当前位为0即表示该数不在，不为0说明该数存在
bool Test(size_t x)
{
size_t num = x / 32;
size_t pos = x % 32;
return _bits[num] & (1 << pos);
}6.总的代码如下：
#include<vector> //注意用到vector，就必须包含vector的头文件
class BitSet
{
public:
BitSet(size_t range)
{
_bits.resize(range / 32 + 1, 0);
}
void Set(size_t x)
{
size_t num = x / 32; //计算x位于_bits的哪个下标处
size_t pos = x % 32; //计算x位于对应下标的哪一位上
_bits[num] |= (1 << pos);
}
void ReSet(size_t x)
{
size_t num = x / 32;
size_t pos = x % 32;
_bits[num] &= ~(1 << pos);
}
bool Test(size_t x)
{
size_t num = x / 32;
size_t pos = x % 32;
return _bits[num] & (1 << pos);
}
private:
vector<size_t > _bits;
};
void TestBitSet()
{
BitSet s(1000);
s.Set(100);
s.Set(15);
s.Set(34);
s.Set(815);
cout << s.Test(815) << endl;
cout << s.Test(34) << endl;
cout << s.Test(69) << endl;
cout << s.Test(125) << endl;
cout << s.Test(150) << endl;
}C++标准库中位图的使用（bitset）
1.在C++标准库里位图（bitset）是一个容器，采用模板实现，有一个非类型的模板参数，这个非类型的模板参数用来表示我们需要的比特位的位数；
2.使用：
（1）bitset的定义及初始化
bitset<4> bs1; //位图bs1包含4个位，每个位初始值为0
bitset<4> bs2(11); //bs2包含4个位，由于11的二进制为1011，该二进制的低位对应位图的低位置处，高位对应位图的高位置处，即位图的第0位为1，第一位为1，第2位为0，第3位为1
bitset<4> bs3("0011"); //可以将一个string对象初始化一个位图，string对象的值与位图位置相反，string的最右边的字符对应位图的最低位，最左边的字符对应位图最高位
string s = "1111";
bitset<4> bs4(s);
bitset<17> bs5(0xffff); //在32位机器上，0xffff为16进制数，表示16个1，所以会将bs5里0~15位都置为1，第16位为0
string s2 = "00110011110";
bitset<32> bs6(s2, 3, 4); //bs6有32个位，将s2从第3位（从0开始）开始包含4个字符用来初始化bs6的0~3位（2）将某位设置为1 （set( )）
bitset<8> bs1; //bs1包含8个位，第0~第7位，初始时每位都为0
bs1.set(); //set里面不带任何参数，则会将所有位都设置位1
bitset<8> bs2;
bs2.set(5); //将bs2的第5位设置为1（3）将某位设置为0 （reset( )）
bitset<8> bs1("00011111");
bs1.reset(3); //将bs1的第3位设置为0（4）测试某一位是1还是0 （test()）
bitset<8> bs1("00011111");
bs1.reset(3);
cout << bs1.test(3) << endl; //输出0
cout << bs1.test(2) << endl; //输出1（5）统计位图里面为1的个数
bitset<8> bs1("00011111");
cout << bs1.count() << endl; //输出5（6）统计位图的size
bitset<8> bs1("00011111");
cout << bs1.size() << endl; //输出8（7）访问位图的某一位（通过[ ]）
bitset<8> bs1("00011111");
cout << bs1[3] << endl;（8）按位取反 （flip( )）
bitset<8> bs1("00011111");
bs1.flip(); //不带参数，表示将所有位都按位取反
bs1.flip(3); //表示将bs1的第三位按位取反（9）输出该位图
